1、考点 二项式定理的概念及性质,考点清单,考向基础 1.二项式定理 (a+b)n= an+ an-1b1+ an-rbr+ bn (nN*). 2.几个基本概念 (1)二项展开式:二项式定理的公式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式. (2)项数:二项展开式中共有 n+1 项. (3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数 (r=0,1,2,n)叫做 二项式系数 . (4)通项:在二项展开式中的 an-rbr叫做二项展开式的通项,用Tr+1表示,即,通项为展开式的第r+1项:Tr+1= an-rbr (r=0,1,n). 3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1
2、+ x+ x2+ x3 + xn.若a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 x+ x2+(-1)n xn. 4.二项式系数的性质 (1)对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数 相等 ,事实上,这一性 质可直接由公式 = 得到. (2)增减性 二项式系数为 = ,当k 时,二项式系数逐渐增大,由对称 性知后半部分是逐渐减小的.,(3)最大值 当n为偶数时,中间一项 的二项式系数最大,最大值为 ; 当n为奇数时,中间两项 的二项式系数相等,且同时 取得最大值,最大值为 或 . 5.各二项式系数的和: (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即 + + + =2n
3、. 二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和,即 + + += + + +=2n-1.,特别提示 1.二项式的项数与项 (1)二项式的展开式共有n+1项, an-rbr是第r+1项.即r+1是项数, an-rbr是 项. (2)通项是Tr+1= an-rbr(r=0,1,2,n).其中含有Tr+1,a,b,n,r五个元素,只要知 道其中四个即可求第五个元素. 2.二项式系数与展开式项的系数的异同 在Tr+1= an-rbr中, 就是该项的二项式系数,它与a,b的值无关;Tr+1项的系 数指化简后除字母以外的数,如a=2x,b=3y,Tr+1= 2n-r3rxn-ryr,
4、其中 2n-r3r 就是Tr+1项的系数.,考向突破,考向 求二项展开式中特定项或特定项的系数,例 (1)(x2+2) 的展开式的常数项是 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 (2) 的展开式中x3的系数为 .(用数字作答),解析 (1)由题意知展开式的常数项为2(-1)5+ (-1)4=-2+5=3,故选D. (2)通项Tr+1= (x2)6-r(x-1)r= x12-3r,令12-3r=3,则r=3,x3的系数为 =20.,答案 (1)D (2)20,方法1 求展开式中的特定项 求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项Tk+1= an-kbk的特点,一般 需要建立方程求k,再将k的
5、值代回通项求解,注意k的取值范围(k=0,1,2, ,n). (1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立 方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.,方法技巧,例1 在 的展开式中,常数项为 . 解题导引,解析 即 的展开式中的通项为Tr+1= (-1)4-r(r=0,1,2,3,4). 当r=0时,T1=1, 当r0时, 的通项为Tk+1= xr-k =(-1)k xr-2k(k=0,r), 令r-2k=0,即r=2k.r=2,k=1;r=4
6、,k=2.常数项=1- + 1=-5.,答案 -5,方法2 二项式系数与项的系数 1.二项式系数与项的系数是不同的两个概念,二项式系数是指 , ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除 变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,也与a,b的值有关,如(a+ bx)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是 ,而项的系数是 an-kbk. 2.形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和, 常用赋值法,只需令x=1即可;形如(ax+by)n(a,bR)的式子求其展开式各 项系数之和,只需令x=y=1即可. 3.一般地,若f(x)=
7、a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)中各项系数之和为f(1),奇数 项系数之和为a0+a2+a4+= ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=,.,例2 (1)在(x2-4) 的展开式中,x5的系数为 ( ) A.36 B.-144 C.60 D.-60 (2)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|= ( ) A.0 B.1 C.32 D.-1 解题导引,解析 (1)(x2-4) =(x2-4)( x9+ x7+ x5+ x3+ x+ x-9), 展开式中x5的系数为 -4 =84-144=-60,故选D. (2)Tr+1= (-x)r=(-1)r xr(r=0,1,2,3,4,5), 当r为奇数时,ar0, |a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5. 对(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-1)5=0.故选A.,答案 (1)D (2)A,
