1、考点一 函数的单调性及最值,考点清单,考向基础 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数,注意:(1)单调函数的定义有以下两种等价形式: x1,x2a,b,且x1x2, (i) 0f(x)在a,b上是增函数;0f(x)在a,b上是增函数; (x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (2)单调区间只能用区间表示,当一个函数的增区间(或减区间)有多个 时,不能用“”连接,而应该用“和”或“,”连接.例如:y= 的单调减 区间为(-,0)和(0,+),但不能写成(-,0)(0,+).,2.函数的最值,考向突破,考向 函数的单调性的判断与应用,例 (1)函数f(x)=lo (x
2、2-4)的单调递增区间为 ( ) A.(0,+) B.(-,0) C.(2,+) D.(-,-2) (2)已知函数f(x)=sin x+3x,x(-1,1),如果f(1-a)-f(1-a2),则实数a的取值范 围是 ( ) A.(1, ) B.(-,-2)(1,+) C.(-,-2) D.(1,+),解析 (1)由x2-40得x2.因为u=x2-4在(-,-2)上为减函数,在(2, +)上为增函数,y=lo u为减函数,故f(x)的单调递增区间为(-,-2).选D. (2)易知函数f(x)是奇函数,且在(-1,1)上单调递增, f(1-a)-f(1-a2),f(1-a)f(a2-1), 解得1
3、a ,故选A.,答案 (1)D (2)A,考点二 函数的奇偶性与周期性,考向基础 1.函数的奇偶性,2.函数的周期性 (1)函数的周期性的定义 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为 周期函数 ,T为这个函数的周期.,如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 的正数就叫做它的 最小正周期 . (2)常见的几个结论 (i)若f(x+a)=f(x+b)(ab),则f(x)的周期是T=|a-b|. (ii)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|. (iii)若f(
4、x+a)= 或f(x+a)=- ,其中f(x)0,则f(x)的周期是T=2|a|.,(iii)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函 数,4|a-b|是它的一个周期.,(3)对称性与周期的关系 (i)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函 数,2|a-b|是它的一个周期. (ii)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)必为周期函 数,2|a-b|是它的一个周期.,考向突破,考向 函数的奇偶性的判断与应用,例 (1)下列函数中为奇函数的是 ( ) A.y=x+cos x B.y=x+si
5、n x C.y= D.y=e-|x| (2)(2017课标文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x (-,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)= .,解析 (1)对于A,y=x+cos x的定义域为R, f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cos x -f(x),排除; 对于B,y=x+sin x的定义域为R, f(-x)=-x+sin(-x)=-x-sin x=-f(x),故该函数是 奇函数; 对于C,y= 的定义域为0,+),关于原点不对称,故该函数为非奇非偶 函数,排除; 对于D,y=e-|x|的定义域为R, f(-x)=e-|-x|=e-|x|=f(x),
6、故该函数为偶函数.故选B. (2)f(-2)=2(-2)3+(-2)2=-12,又f(-2)=-f(2), f(2)=-f(-2)=12.故填12.,答案 (1)B (2)12,方法1 判断函数单调性的方法 1.定义法:设元作差变形判断符号给出结论.其关键是对差进行 变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式乘积或平方和的形式, 再结合变量的范围、假定的两个自变量值的大小关系及不等式的性质 作出判断.若函数在给定区间上, f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,则该函数是增函 数; f(x1)-f(x2)与x1-x2异号,则该函数是减函数. 2.利用函数的运算性质:若f(x)、g(x)为增函
7、数,则 y=f(x)+g(x)为增函数; y= 为减函数(f(x)0);,方法技巧,y= 为增函数(f(x)0); y=f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); y=-f(x)为减函数. 3.利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”,即若两个基本初等函数的单调性相同,则这两个 函数的复合函数为增函数,若两个基本初等函数的单调性相反,则这两 个函数的复合函数为减函数. 4.图象法:画出函数图象,由图象直观判断函数的单调性. 5.奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两 个关于原点对称的区间上具有相反的单调性.,若f(x)在某个区间内可导,当f (x)0时,
8、f(x)为增函数;当f (x)0时, f(x) 为减函数; 若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,f (x)0;当f(x)在 该区间上递减时,f (x)0.,6.导数法,例1 已知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,e)上是增函数 B.奇函数,且在(0,e)上是减函数 C.偶函数,且在(0,e)上是增函数 D.偶函数,且在(0,e)上是减函数,解析 解法一:易知f(x)的定义域为(-e,e),关于原点对称. f(-x)=ln(e-x)+ln(e+x)=f(x),函数f(x)是偶函数, 函数f(x)=ln(e+x)+ln(e
9、-x)=ln(e2-x2),在(0,e)上y=e2-x2是减函数,y=ln x是增 函数,由复合函数的单调性可知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e-x)在(0,e)上是减函 数,故选D. 解法二:同解法一知f(x)是偶函数. 在(0,e)上,f (x)= - = 0,则函数f(x)在(0,e)上单调递减,故选 D.,答案 D,方法2 判断函数奇偶性的方法 1.定义法2.图象法,3.性质法 若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶 =偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,例2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=(1-x) ; (2)f(x)= (3)f(x)=
10、 ; (4)f(x)=log2(x+ ). 解题导引,解析 (1)当且仅当 0时函数有意义,-1x0时,-x0, f(-x)=-x2-2x+1=-f(x), f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. (3)由题意知 -2x2且x0, 函数f(x)的定义域为-2,0)(0,2,关于原点对称. f(x)= = ,又f(-x)= =- =-f(x), f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数. (4)解法一:易知f(x)的定义域为R. f(-x)=log2(-x)+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x),f(x)是奇函数. 解法二:易知f(x)的定义域为R. f(-x)+f(
11、x)=log2(-x)+ +log2(x+ )=log21=0,f(-x)=-f(x), f(x)为奇函数.,(2)对于分段函数,必须分段判定它的奇偶性,只有在每一段上都满足奇 偶函数的定义时,才能下相应的结论; (3)当f(x)0时,奇偶函数定义中的判断式f(-x)=f(x)常被它的变式 =1所替代.,规律总结 (1)对于解析式比较复杂的函数,有时需要将函数化简后再 判断它的奇偶性,但一定要先考虑它的定义域;,方法3 函数周期的求法及应用 1.几种常见抽象函数的周期,2.求抽象函数周期的方法 递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=f(x),所
12、以2|a|为f(x) 的一个周期; 换元法:若f(x+a)=f(x-a),令x-a=t,则x=t+a,则f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t), 所以2|a|为f(x)的一个周期.,例3 已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)为奇函数,且f(2)=3,则f(5)+ f(6)的值为 ( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解题导引,解析 f(x-1)是奇函数,f(-x-1)=-f(x-1), f(x)是偶函数,f(-x-1)=f(x+1)=-f(x-1), 即f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), f(x)是以4为周
13、期的函数, 则f(5)=f(1),f(6)=f(2)=3, 当x=-1时,由f(x+2)=-f(x), 得f(1)=-f(-1)=-f(1),即f(1)=0, f(5)+f(6)=3,故选D.,答案 D,方法4 函数性质的综合应用 1.函数单调性与奇偶性的综合.注意奇、偶函数图象的对称性,以及奇、 偶函数在关于原点对称的区间上单调性的关系. 2.周期性与奇偶性的综合.此类问题多为求值问题,常利用奇偶性及周期 性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内 求解. 3.单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转 化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.,
14、例4 已知定义在R上的奇函数满足f(x+4)=-f(x),且在区间0,2上是增函 数,则 ( ) A. f(-25)f(11)f(80) B. f(80)f(11)f(-25) C. f(11)f(80)f(-25) D. f(-25)f(80)f(11),解析 f(x+4)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4),f(x+8)=f(x),f(x)的周期为8, f(-25)=f(-1), f(80)=f(0), f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f(1), 又奇函数f(x)在区间0,2上是增函数,f(x)在区间-2,2上是增函数, f(-25)f(80)f(11),故选D.
15、,答案 D,方法5 函数值域的求法 求函数值域的常用方法: (1)列举法 列举法是直接根据函数的定义域与对应关系,将函数值一一求出来写成 集合的形式的方法.这种方法只适用于值域中元素有限或虽然无限但是 与自然数有关的集合. 如:狄利克雷函数: f(x)= 值域为0,1. (2)分离常数法 形如y= (a0)的函数的值域问题,经常使用“分离常数法”求解.,例如:求函数y= 的值域. 解析:y= = = + , 函数的值域为 . (3)有界性法 形如sin =f(y),x2=g(y),ax=h(y)等,由|sin |1,x20,ax0可解出y的取值范 围,从而求出函数的值域. (4)配方法 配方法
16、是求“二次函数型函数”值域的基本方法,形如F(x)=af (x)2+ bf(x)+c(a0)的函数的值域问题,均可使用配方法.,(5)换元法 代数换元:形如y=ax+b (a,b,c,d为常数,ac0)的函数,可设=t(t0),转化为二次函数求值域. 三角换元:如y=x+ ,可令x=cos ,0, 则y=cos +sin = sin ,0,. 对于换元法求值域,一定要注意新元的范围对值域的影响. (6)基本不等式法 利用基本不等式:a+b2 (a0,b0). 用此法求函数值域时,要注意条件“一正,二定,三相等”. (7)利用函数的单调性 单调函数的图象是一直上升或一直下降的,因此若单调函数在端
17、点处,有定义,则该函数在端点处取最值,即 若y=f(x)在a,b上单调递增,则y最小=f(a),y最大=f(b); 若y=f(x)在a,b上单调递减,则y最小=f(b),y最大=f(a). 形如y=ax+b+ 的函数,若ad0,则用单调性求值域;若ad0)的函数,在基本不等式的条件不具备的情况下(等号 不成立),可考虑用函数的单调性求值域,当x0时,函数y=x+ (k0)的单 调减区间为(0, ,单调增区间为 ,+).一般地,把函数y=x+ (k0,x 0)叫做对勾函数,其图象的转折点为( ,2 ),至于x0的情况,可根据函 数的奇偶性解决.,(8)导数法 利用导函数求出最值,从而确定值域.
18、(9)数形结合法 若函数的解析式的几何意义较明显,如距离、斜率等,可用数形结合法. (10)判别式法 把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,知判别式 0,从而求得原函数的值域,形如y= (a1,a2不同时为零)的函数 的值域问题,常用此法求解. 用判别式法求值域的注意事项: 函数的定义域应为R;,分式的分子、分母没有公因式.,例5 (1)已知x1,则函数y= +x的最小值为 . (2)已知函数f(x)=x3-6x2+9x,则f(x)在闭区间-1,5上的最小值为 , 最大值为 . (3)对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)= 若f(x)=x2-2,g(x)=
19、-x,则 max(f(x),g(x)的最小值为 .,解析 (1)x1,x-10, y= +x= +(x-1)+12 +1=3, 当且仅当 =x-1,即x=2时“=”成立. (2)f (x)=3x2-12x+9,令f (x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,当-10, f(x)在(-1,1),(3,5)上为增函数, 当1x3时, f (x)0, f(x)在(1,3)上为减函数. f(-1)=-16, f(3)=0, f(1)=4, f(5)=20,故f(x)在闭区间-1,5上的最小值为-16, 最大值为20.,(3)因为f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,当x2+x-20时,解得x1或x-2. 当-2x1时,x2+x-20,即f(x)g(x), 所以max(f(x),g(x)= 作出图象如图所示,由图象可知 最小值在A处取得,所以最小值为f(1)=-1.,答案 (1)3 (2)-16;20 (3)-1,
