1、考点一 二次函数,考点清单,考向基础 1.二次函数的图象和性质,2.实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根的符号与系数之间的关系 (1)方程有两个不相等的正实数根(2)方程有两个不相等的负实数根,(3)方程有一正根一负根 ac0 .,3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的区间根问题 设x1、x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两实根, f(x)=ax2+bx+ c,则x1、x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.,考向突破,考向 二次函数的最值问题,例 已知函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m(m0)上的最大值为4,最小值为3, 则实数
2、m的取值范围是 ( ) A.1,2 B.(0,1 C.(0,2 D.1,+),解析 f(x)=(x-1)2+3,f(1)=3, f(0)=f(2)=4.作出函数f(x)的图象如图所 示,由图可以看出,当1m2时,函数f(x)=x2-2x+4在区间0,m(m0)上的 最大值为4,最小值为3.故选A.,答案 A,考点二 幂函数,考向基础 1.幂函数的定义 一般地,形如y=x(R)的函数称为幂函数,其中为常数. 2.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象,3.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的性质,考向突破,考向一 幂函数单调性的应用,例1 下列选项正确的是
3、( ) A.0.20.20.30.2 B. 1.250.2 D.1.70.30.93.1,解析 A中,函数y=x0.2在(0,+)上为增函数,0.2 ;C中,0.8-1=1.25,y=1.25x在 R上是增函数,0.11,0.93.10.93.1.故选D.,答案 D,考向二 幂函数图象及其应用,例2 函数f(x)= - 的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 令f(x)=0,则 = ,在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=与y= 的图象,如图所示.由图可知两函数图象有1个交点,故f(x)的零点只有一个,故选B.,答案 B,方法1 二次函数在区间上最值问题的解法 二次函数的区
4、间最值问题一般有三种情况: (1)对称轴、区间都是给定的; (2)对称轴动,区间固定; (3)对称轴定,区间变动. 解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间的两 个端点和中点,一轴是指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类 讨论的思想即可完成. 对于(2)、(3)两种情况,通常要分对称轴与x轴交点的横坐标在区间内与,方法技巧,在区间外进行讨论.,例1 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为 ( ) A.2 B.-1或-3 C.2或-3 D.-1或2 解题导引,解析 函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开
5、口向下,分三种 情况讨论如下: 当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数,f(x)max=f(0)= 1-a,由1-a=2,得a=-1. 当01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数,f(x)max=f(1)= -1+2a+1-a=2,a=2.综上可知,a=-1或a=2.,答案 D,方法2 解决一元二次方程根的分布问题的方法 对方程根的分布问题,一般结合二次函数的图象从四个方面分析: (1)开口方向;(2)对称轴位置;(3)判别式;(4)端点函数值.,例2 已知二次函数f(x)=2x2-4ax+4,在下列条件下,求实数a的取值范围. (1)一
6、个零点比2大,一个零点比2小; (2)两个零点均小于2.,解析 (1)二次函数f(x)=2x2-4ax+4的一个零点比2大,一个零点比2小, f(2)=8-8a+4 . (2)解法一:函数图象的对称轴为x=a,两个零点均小于2, 解得 a 或a- . 解法二:记函数f(x)的两个零点分别为x1,x2. 则 x12,x22, a 或a- .,方法3 幂函数的图象及性质的应用 幂函数y=x的性质和图象由于的取值不同而比较复杂,一般可从三方 面考查: (1)的正负:0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象限的部分“上 升”;1时曲线下凹,01时曲线上凸,0时 曲线下凹; (3)函数的奇偶性:
7、一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函 数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性. 注意重点掌握=1,-1,2, ,3时这五个幂函数的图象、性质及应用.,例3 函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,对任意的x1,x2(0,+),且x1 x2,满足 0,若a,bR,且a+b0,ab0,则f(a)+f(b)的值 ( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断,解析 f(x)=(m2-m-1) 是幂函数, m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 当m=2时,指数429-25-1=2 0150,满足题意. 当m=-1时,指数4(-1)9-(-1)5-1=-40,a-b, 又ab-b0,f(a)f(-b)0,又f(-b)=-f(b), f(a)-f(b),f(a)+f(b)0. 故选A.,答案 A,
