1、考点 函数的零点与方程的根,考点清单,考向基础 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数 y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y=f(x)有 零点 . 2.函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)f(b)0 ,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c,3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 (1)确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0 ,给定精确度. (2)求区间(a,b)的中点c. (3)
2、计算f(c): (i)若f(c)= 0 ,则c就是函数的零点; (ii)若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点x0(a,c); (iii)若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点x0(c,b). (4)判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则,重复 (2)(3)(4).,(a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是f(x)=0的根.我们把这一结论 称为函数零点存在性定理.,知识拓展 (1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标,实质是同 一个问题的三种不同表达形式,方程根的个数就是相应函数的零点的个 数,也是该函数的图象与x轴交点的个数. (2
3、)若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数f(x)的 变号零点;若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号,则称该零点为函 数f(x)的不变号零点. (3)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线,则f(a)f(b)0是f (x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件.,考向突破,考向一 函数零点个数及其所在区间的判断,例1 (1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数f(x)=ln x- 的零点为x0,则x0所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,
4、4),解析 (1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数方程|log0.5x|= = 的根 的个数函数y1=|log0.5x|与y2= 的图象的交点个数.作出两个函数的 图象,如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点,故选B.,且f(1)=ln 1- =ln 1-2=-20, x0(2,3),故选C.,答案 (1)B (2)C,(2)易知f(x)=ln x- 在(0,+)内是增函数,考向二 函数零点的应用,例2 已知函数f(x)= 其中m0.若存在实数b,使得关 于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .,解析 函数f(x)的大致图象如图所示,“存在bR,使得方程
5、f(x)=b有三个不同的根”等价于“y=b与y=f(x)的 图象有三个不同的交点”,故只需A点在B点的下方,即4m-m20, 所以m3,故m的取值范围是(3,+).,答案 (3,+),方法1 判断函数零点所在区间和零点个数的方法 1.判断函数零点所在区间的常用方法 (1)零点存在性定理:使用条件是函数图象是连续的. (2)数形结合法:画出函数的图象,用估算法确定函数零点所在的区间. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,那么有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在a,b上的图象是 连续的曲线,且f(a)f(b)0,还必须结合
6、函数的图象和性质(如单调性、奇 偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.,方法技巧,(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就 有几个不同的零点.,例1 设x0是方程 = 的解,则x0所在的区间是 ( ) A. B. C. D. 解题导引,解析 构造函数f(x)= - , 因为f(0)= - =10, f = - = - 0, f = - = - 0,所以由零点 存在性定理可得函数f(x)= - 在 上存在零点,即x0 .故 选B.,答案 B,方法2 函数零点的应用 已知函数有零点(方程有根或图象有交点),求参数的值或取值范围常用 的方法: (1)直接法:直接根
7、据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式 确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,再将其转化成求函数最值问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象,利用数形结合法求解.,例2 已知函数f(x)= (aR),若函数f(x)在R上有两个零点,则 a的取值范围是 ( ) A.(-,-1) B.(-,0) C.(-1,0) D.-1,0) 解题导引,解析 当x0时, f(x)=3x-1有一个零点,所以只需要当x0时,ex+a=0有且 仅有一个根即可,即ex=-a.当x0时,ex(0,1,所以-a(0,1,即a-1,0), 故选D.,答案 D,
