1、考点一 不等式的概念和性质,考点清单,考向基础 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法: (2)作商法:,(i)传递性:ab,bc ac . (ii)同向可加性:ab,cda+cb+d. (iii)关于乘法、乘方、开方的性质: ab,c0 acbc ; ab,cb0,cd0 acbd ; ab0(nN*) anbn ; ab0(nN*,n2) .,2.不等式的性质 (1)双向性质:abbb a+cb+c . (2)单向性质:,(i)ab,ab0 b0,m0,则 (i)真分数性质: (b-m0); (ii)假分数性质: ; 0).,3.不等式的一些常用结论 (1)倒数性质:,考向突破,考向 利
2、用不等式的性质比较实数大小,例 (2014四川文,5,5分)若ab0,c B. D. ,解析 c ,同乘-1,得- - 0,又ab0,故由不等式的性 质可知- - 0,乘-1,得 0.故选B.,答案 B,考点二 不等式的解法,考向基础1.不等式axb的解集:若a0,解集为 ;若a0,解集为 ;若a=0,当b0时,解集为 ,当b0时,解集为R.,2.三个“二次”间的关系,3.一元n次不等式的求解方法 如果一元n次不等式a0xn+a1xn-1+an0(a00,nN*,n3)可以转化为a0 (x-x1)(x-x2)(x-xn)0(其中x10时,由于f(x)=a0(x-x1)(x-x2)(x- xn)
3、的值的符号在上述区间自右至左依次为+,-,+,-,所以正值区间为 f(x)0的解集. 4.分式不等式的解法 (1) 0 (2) 0 f(x)g(x)0 .,(1)|f(x)|g(x)| f(x)2g(x)2 ; (2)|f(x)|g(x) f(x)g(x)或f(x)-g(x) ; (3)|f(x)|g(x) -g(x)f(x)g(x) ; (4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用 零点分区间 的方 法脱去绝对值符号求解,也可以用图象法求解.,5.绝对值不等式的解法,考向突破,考向 求不等式组的解集,例 (2014大纲全国文,3,5分)不等式组 的解集为 ( ) A.x|-21,解析 由x(
4、x+2)0得x0或x-2;由|x|1得-1x1,二者取交集可得不等 式组的解集为x|0x1,故选C.,答案 C,方法1 不等式性质的应用问题及其解法 1.与充分、必要条件相结合的问题.用不等式的性质分别判断pq,qp 是否正确,要注意特殊值法的应用. 2.与命题真假判断相结合的问题.解决此类问题除根据不等式的性质求 解外,还经常采用特殊值验证的方法. 3.求代数式的取值范围的问题.要注意不等式同向可乘性的适用条件以 及整体思想的运用.,方法技巧,例1 已知x,yR,那么“xy”的充分必要条件是 ( ) A.2x2y B.lg xlg y C. D.x2y2,解析 由x,yR,排除B和C. 对于
5、A,由于函数y=2x在R上为增函数, 当xy时,可得2x2y.反之也成立. 对于D,y=x2在R上不单调,故不符合题意.故选A.,答案 A,方法2 比较实数大小的常用方法 实数大小的比较常用“比较法”来解决,“比较法”有“作差比较法” 和“作商比较法”两种,可根据数式的结构特点灵活选用.比较法的关 键是变形,变形越彻底,越有利于下一步的判断.在用“比较法”时,有时 可先将原式变形后再作差或作商进行比较,若是选择题,还可用特殊值 法判断数的大小关系. (1)作差法 理论依据:a-b0ab;a-b0ab;a-b=0a=b. 基本步骤:,(2)作商法 理论依据:b0且 1ab;b0且 0且 =1a=
6、b. 基本步骤:,例2 若00且a1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小关系是 ( ) A.|loga(1-x)|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|loga(1+x)| C.不确定,由a的值决定 D.不确定,由x的值决定,解析 解法一:作差法. 00, |loga(1-x)|-|loga(1+x)| = - =- lg(1-x)+lg(1+x) =- lg(1-x2)0, |loga(1-x)|loga(1+x)|. 解法二:作商法.,01+x1, log(1+x)(1-x)log(1+x)(1+x)=1, |loga(1-x)|loga(1+x)|.,答案
7、A,方法3 一元二次不等式恒成立问题的解法 1.解决恒成立问题可以利用分离参数法,一定要弄清楚谁是自变量,谁是 参数.一般地,知道谁的范围,谁就是自变量,求谁的范围,谁就是参数. 2.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图 象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象 在给定的区间上全部在x轴下方. 3.解决不等式在给定区间上的恒成立问题,可先求出相应函数这个区间 上的最值,再转化为与最值有关的不等式问题.,例3 (1)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则实数a的取值 范围是 . (2)(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都 有f(x)0成立,则实数m的取值范围是 .,即 -2a2. 综上,可得实数a的取值范围是(-2,2. (2)要满足f(x)=x2+mx-10对于任意xm,m+1恒成立, 只需 即 解得- m0.,答案 (1)(-2,2 (2),
