1、考点一 抛物线及其标准方程,考点清单,考向基础 平面内到一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛 物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 ,抛 物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称,这条直线叫抛物线的对称 轴,简称抛物线的轴. 在抛物线中,记焦点F到准线l的距离为p,以抛物线的焦点F到准线l的垂 线段的中点为坐标原点,以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系,可以得到 抛物线的四种不同形式的标准方程y2=2px,x2=2py,其中p0.,考向突破,考向一 抛物线定义的应用,例1 (2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l 上一点,
2、Q是直线PF与C的一个交点.若 =4 ,则|QF|= ( ) A. B.3 C. D.2,解析 =4 ,点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QMl,垂 足为M, 由抛物线定义知|QF|=|QM|, 设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4, 又易知PQMPFN, 则 = , 即 = . |QM|=3,即|QF|=3.故选B.,答案 B,考向二 求抛物线的标准方程,例2 函数y=ax-1(a0且a1)的图象恒过点P,则焦点在x轴上且过点P的 抛物线的标准方程是 .,解析 设抛物线的方程为y2=mx(m0),由题意知点P的坐标为(1,1),代入 y2=mx,可得m=1,焦点在x轴上且过
3、点P的抛物线的标准方程是y2=x.,答案 y2=x,考点二 抛物线的几何性质,考向基础,考向突破,考向 抛物线几何性质的应用,例 若抛物线y2=ax的焦点到其准线的距离是2,则a= ( ) A.1 B.2 C.4 D.8,解析 y2=ax,2p=|a|. 又焦点到准线的距离为2, p=2,|a|=4. a=4,故选C.,答案 C,考点三 抛物线中弦的相关问题,考向基础 1.焦点弦的性质 (1)焦半径与焦点弦:若P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,F是抛物线的 焦点,且PQ过焦点,则线段PF称为抛物线的焦半径,线段PQ称为抛物线 的焦点弦,如下表:,(2)以抛物线y2=2px(p
4、0)为例,设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点 弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则 有以下结论: x1x2= ,y1y2=-p2; 若直线AB的倾斜角为,且A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|= ,|BF|= ; |AB|=x1+x2+p= (其中为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p, 通径是最短的焦点弦; SAOB= (其中为直线AB的倾斜角);, + = 为定值; 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; 以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切; 以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,A1FB1=90; A,O,B1
5、三点共线,B,O,A1三点也共线. 2.如图所示,AB是过抛物线x2=2py(p0)焦点的一条弦(焦点弦),分别过A, B作抛物线的切线,交于点P,连接PF,则有以下结论:,(1)点P的轨迹是一条直线,即抛物线的准线l:y=- ; (2)两切线互相垂直,即PAPB; (3)PFAB; (4)点P的坐标为 . 3.非焦点弦的性质 (1)已知直线l与抛物线y2=2px(p0)交于A、B两点,若OAOB,则直线l过 定点(2p,0),反之亦成立; (2)已知M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p0)上任意一点,点N(a,0)是抛物线的对 称轴上一点,则|MN|min=,考向突破,考向 焦点弦的相关
6、问题,例 过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线(斜率大于0)交抛物线于A,B两 点,点O是原点,如果|BF|=3,|BF|AF|,AFO= ,那么|AF|的值为 ( ) A.1 B. C.3 D.6,解析 解法一:过焦点F的直线的斜率k= ,则方程为y= ,由得3x2-5px+ =0,即(2x-3p)(6x-p)=0,所以x= p或x= . 因为|BF|AF|,所以xB= p,xA= , 依题意得xB+ =2p=3,所以p= ,则|AF|=xA+ = p=1,故选A. 解法二:利用结论可得,又|BF|=3,故|AF|=1,故选A.,答案 A,方法1 求抛物线标准方程的方法 1.定义法:根
7、据条件确定动点满足的几何特征,利用抛物线的定义确定轨 迹类型,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程. 2.待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定p的值,这里应注意抛物线 的标准方程有四种形式.从简单化角度出发,焦点在x轴上的,设为y2=ax(a 0),焦点在y轴上的,设为x2=ay(a0).,方法技巧,例1 抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与 抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为 . 解题导引,解析 设满足题意的圆的圆心为M. 根据题意可知圆心M在抛物线上, 又圆的面积为36, 圆的半径为6,则|MF|=xM+ =6,即xM=6-
8、, 又由|MO|=|MF|可知xM= , =6- ,解得p=8. 抛物线方程为y2=16x.,答案 y2=16x,方法2 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 1.设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),直线与抛物线交点的个数等价于 方程组 解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数. 当k0时,若0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若=0,则直线 和抛物线相切,有一个公共点;若0)相交,有一个公共点.特别地,当 直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m0时,l与抛物线相交,有两个公共 点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m0时,l与抛物线相离,无 公共
9、点. 2.直线与抛物线相离(无交点)时,常求抛物线上的点到此直线的距离的,最小值.方法有两种,一是将距离d写成一个变量的函数,利用函数求之, 二是利用切线法求. 3.直线与抛物线相切时,求切线斜率,一种方法是利用=0求,另一种方法 是利用导数求. 4.当求解直线与抛物线相交的弦长问题时,利用弦长公式|AB|= = (k为直线的斜率,k0)进行求 解.,例2 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两 点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16,解析 如图,抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0), 准线为x=-1,即x+1=0, 分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为G,D, 则有|AB|=|AF|+|BF|=|AG|+|BD|=8, 过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N, 则MN为直角梯形ABDG的中位线, 则|MN|= (|AG|+|BD|)=4, 即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.,答案 B,
