1、第二节 导数与函数的单调性,1.函数的单调性与导数的关系,教材研读,考点一 证明函数的单调性,考点二 求函数的单调区间,考点突破,考点三 函数单调性的应用,1.函数的单调性与导数的关系 (1)设函数f(x)在某个区间内可导: 若 f (x)0 ,则f(x)在这个区间内是增函数; 若 f (x)0 ,则f(x)在这个区间内是减函数; 若 f (x)=0 ,则f(x)在这个区间内是常数函数.,教材研读,(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤: (i)确定f(x)的定义域; (ii)求导数f (x); (iii)令 f (x)0 或 f (x)0 时, f(x)在相应区间上是增函数, 当 f (x)
2、0 时, f(x)在相应区间上是减函数.,2.注意求函数的单调区间应遵守定义域优先的原则,否则易导致错误.,1.(2018南京期末调研)函数f(x)=xex的单调减区间是 .,答案 (-,-1),解析 f(x)=xex,f (x)=(1+x)ex,由f (x)0,得该函数的减区间为(-,- 1).,2.若可导函数f(x)是减函数,则 (x1x2)的符号为 .,答案 负,解析 由题意得f (x)0,则 0.,3.函数y=x-2cos x的增区间是 .,答案 (kZ),解析 易得y=1+2sin x,由y0,得sin x- ,则2k- x2k+ ,kZ,即 函数y=x-2cos x的增区间是 2k
3、- ,2k+ (kZ).,4.已知函数f(x)=sin x-x,则不等式f(x+2)+f(1-2x)0的解集是 .,答案 x|x3,解析 函数f(x)=sin x-x的定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),又f (x) =cos x-10,所以函数f(x)是R上的奇函数,且是减函数,则f(x+2)+f(1-2x)2x-1,解得x3,故该不等式的解集是x| x3.,5.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f (-1)=-1,则函数f(x)的单调增区间是 .,答案 ,(0,+),解析 f (x)=3x2-2mx,f (-1)=3+2m=-1, 解得m=-2,f (x)=3x2
4、+4x. 令f (x)0,解得x0. 故函数f(x)的单调增区间为 ,(0,+).,考点一 证明函数的单调性 典例1 已知函数f(x)=ax4- x2(a0),x(0,+),求证: f(x)在f (x)的单调减 区间上也单调递减.,考点突破,证明 f (x)=4ax3-x(a0),x(0,+),由(4ax3-x)=12ax2-10得f (x)的单调 递减区间为 .当x 时, f (x)=4ax3-x=x(4ax2-1)0,f(x) 在f (x)的单调减区间上也单调递减.,规律总结 证明可导函数的单调性有导数法和定义法两种方法,解决问题时常用导 数法,即要证明f(x),xD单调递增(减),只需证
5、明f (x)0,xD(f (x)0,x D)成立.,1-1 已知f(x)=ex+ ,求证: f(x)在(0,+)上是增函数. 证明 因为f (x)=ex- = 0,x(0,+),所以f(x)在(0,+)上 是增函数.,考点二 求函数的单调区间 角度一 求不含参数的函数的单调区间 典例2 设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e -1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,解析 (1)因为f(x)=xea-x+bx, 所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 由题意知 即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=
6、xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)与1-x+ex-1同号.,令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,易错警示 求解函数的单调区间时首先要考虑定义域,其次求导后解不等式求得单 调区间,若区间不止一个,这些区间应用“,”或“和”隔开,不能用 “”连接.,角度二 求含参数的函数的单调区间
7、典例3 (2019江苏高考数学模拟)设kR,函数f(x)=ln x+x2-kx-1. 求:(1)k=1时,不等式f(x)-1的解集; (2)函数f(x)的单调递增区间.,解析 (1)k=1时,不等式f(x)-1即ln x+x2-x0.设g(x)=ln x+x2-x,x0,因为 g(x)= +2x-1= 0在定义域(0,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)上 单调递增.又g(1)=0,所以f(x)-1的解集为(1,+). (2)f (x)= +2x-k= (x0),由f (x)0得2x2-kx+10(*).,当=k2-80,即-2 k2 时,(*)在R上恒成立,所以f(x)的单调递增 区间为(
8、0,+).,当=k2-80,即k2 时,方程2x2-kx+1=0的相异实根分别为x1= , x2= , 因为 所以0x1x2,所以f (x)0的解集为 ,故函数f(x)的单调递增区间为 0, 和 ,+ . 当k2 时,函数f(x)的单调递增区间为 和;,当k2 时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+). 方法技巧 研究含有参数的函数的单调性时,要依据参数对不等式解集的影响进行 分类讨论;划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定 导数为0的点和函数的间断点.,2-1 (2018苏州学业阳光指标调研)已知函数f(x)= 当a=2 时,求函数f(x)的单调区间.,解析 当a=2时,
9、f(x)= 当x0时, f(x)=-x3+x2,则f (x)=-3x2+2x=-x(3x-2). 易知f (x)0在(-,0)上恒成立, 所以函数f(x)在区间(-,0)上为减函数.,当x0时, f(x)=ex-2x,则f (x)=ex-2. 令f (x)=0,解得x=ln 2.当0ln 2时, f (x)0,所以函 数f(x)在区间(0,ln 2)上为减函数,在区间(ln 2,+)上为增函数.,综上,函数f(x)的单调减区间为(-,0)和(0,ln 2),单调增区间为(ln 2,+).,2-2 (2018江苏徐州王杰中学月考节选)已知函数f(x)=ln x-ax,g(x)= +a. 讨论函数
10、F(x)=f(x)-g(x)的单调性.,解析 F(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax- -a,x0,则F (x)= . 当a0,F (x)0时,x(0,+),所以F(x)=f(x)-g(x)在(0,+)上是增函数. 当a0时,易知F(x)=f(x)-g(x)在 上是增函数,在上是减函数.,典例4 (1)(2018江苏扬州中学高三开学考)若函数f(x)= (cos x-sin x). (cos x+sin x)+3a(sin x-cos x)+(4a-1)x在 上单调递增,则实数a的取 值范围是 . (2)(2018江苏如东高级中学高三上学期期中)函数f(x)= x2,g(x)=aln x
11、,对 区间1,2上任意不相等的实数x1,x2,都有 2恒成立,则正 数a的取值范围是 .,考点三 函数单调性的应用 角度一 由函数的单调性,求参数的取值范围,解析 (1)f(x)= cos 2x+3a(sin x-cos x)+(4a-1)x,则f (x)=-sin 2x+3a(cos x+ sin x)+4a-1,由题意知f (x)0在 上恒成立, 令cos x+sin x=t,则t= sin ,t-1,1,则-t2+3at+4a0在t-1,1上 恒成立,则a ,t-1,1,= 1,当t=-1时取等号,则a1.,答案 (1)1,+) (2)(0,1,(2)不妨设1x10在1,2上递增,则g(
12、 ) g( ),则f(x1)-f(x2)2g( )-2g( ),则f(x1)-2g( )f(x2)-2g( ),令h(x)= f(x)-2g( ),则h(x)= x2-aln x,则h(x)在1,2上递增,即h(x)=x- 0在1,2 上恒成立,则0a =1.,探究 (变条件)将本例(2)中的条件“对区间1,2上任意不相等的实数x1,x2,都有 2恒成立”变为“在区间1,2上存在不相等的 实数x1,x2,使得 2成立”,则正数a的取值范围是 .,答案 (0,4),解析 同本例(2)中的解析,则h(x)在1,2上存在递增区间,则h(x)=x- 0 在1,2上有解,则0a =4.,方法技巧 (1)
13、已知函数的单调性,求参数的取值范围的两种方法:一是已知定函数 f(x)在动区间(a,b)(a0,xD有解; 已知函数f(x),xD存在单调递减区间f (x)0,xD有解.,典例5 (2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+ex- ,其中e是自然对数 的底数.若f(a-1)+f(2a2)0,则实数a的取值范围是 .,角度二 利用函数的单调性解不等式,答案,解析 易知函数f(x)的定义域关于原点对称.,f(x)=x3-2x+ex- ,f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x- =-x3+2x+ -ex=-f(x), f(x)为奇函数.,又f (x)=3x2-2+ex+ 3x2-2
14、+2=3x20(当且仅当x=0时,取“=”),从而f(x) 在R上单调递增, f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)f(-2a2)-2a2a-1, 解得-1a .,规律总结 利用函数的单调性“脱f ”转化为具体的不等式是解题的关键,有时还 需要利用导数公式以及运算法则的逆向应用构造新函数,再利用导数求 函数的单调性,进而解不等式.,3-1 设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+x f (x)0,则不等式 f( ) f( )的解集为 .,答案 1,2),解析 令F(x)=xf(x),则F(x)=f(x)+x f (x),因为F(x)0,所以F(x)是定义在R 上的递增函数,f( )
15、 f( ) f( ) f( ), 即F( )F( ),则 ,解得-1x2,又由题意得x1,所 以1x2,故不等式的解集为1,2).,3-2 设函数f(x)= x3- x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y =1. (1)求b,c的值; (2)若a0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a的取值范围.,解析 (1)f (x)=x2-ax+b, 由题意得 解得 (2)由(1)得f (x)=x2-ax=x(x-a)(a0). 当x(-,0)时, f (x)0; 当x(0,a)时, f (x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a). (3)g(x)=x2-ax+2,依题意知,存在x(-2,-1),使不等式g(x)=x2-ax+20成立,所以x(-2,-1)时,a , 因为x+ -2 , 当且仅当x= ,即x=- 时等号成立. 所以实数a的取值范围是(-,-2 ).,
