1、第三节 导数与函数的极值、最值,1.函数的极值与导数,2.函数的最值,教材研读,考点一 函数的极值问题,考点二 函数的最值问题,考点突破,考点三 函数的极值与最值的综合应用,1.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值 都 小 ,则f(a)叫函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值,教材研读,都 大 ,则f(b)叫函数的极大值. 极小值 和 极大值 统称为极值. (2)求函数极值的方法 解方程f (x)=0,当f (x0)=0时, (i)如果f(x)在x0附近左侧 单
2、调递增 ,右侧 单调递减 ,那么f(x0) 是极大值. (ii)如果f(x)在x0附近左侧 单调递减 ,右侧 单调递增 ,那么 f(x0)是极小值.,2.函数的最值 (1)最大值与最小值的概念 如果在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有 f(x)f(x0) ,那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.如果在函数f(x)的定义 域I内存在x0,使得对任意的xI,总有 f(x)f(x0) ,那么称f(x0)为函数 f(x)在定义域上的最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (i)求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ;,(ii)将函数y=
3、f(x)的各极值与 f(a)、 f(b) 比较,其中 最大 的一 个是最大值, 最小 的一个是最小值.,1.若函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所 示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有 个.,答案 2,2.函数y=ex-ex的极小值为 .,答案 0,解析 因为y=ex-ex,所以y=ex-e.令y=0x=1,x(-,1)时,y0,函数递增,则x=1时函数取得极小值0.,3.函数f(x)= x2+ln x,x1,e上的最大值和最小值之和为 .,答案,解析 因为f (x)=x+ 0,x1,e恒成立,所以函数f(x)在1,e上单调递 增,所
4、以f(x)max+f(x)min=f(e)+f(1)= e2+1+ = .,4.若函数f(x)=mxsin x- (mR),若对x , f(x)的最大值为 ,则实 数m的值为 .,答案 1,解析 f (x)=m(sin x+xcos x),当m0时, f(x)在x 上单调递减,最大 值为f(0)=- ,不符合题意,因此m0,此时f(x)在x 上单调递增,最大 值f = m- = ,解得m=1,符合题意,故m=1.,5.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=x-1,且f (x)=ln x+1,则函 数f(x)的最小值为 .,答案 -,解析 由f (x)=ln x+1得f(x)
5、=xln x+c(c为常数),又 f(1)=0,所以c=0,所以f (x)=xln x,函数f(x)的定义域为(0,+),当x 时, f (x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f =- .,6.(2018靖江高级中学阶段检测)已知函数f(x)=2f (1)ln x-x,则f(x)的极大 值为 .,答案 2ln 2-2,解析 由题意知f (x)= -1,令x=1,得f (1)=2f (1)-1,解得f (1)=1,所以 f (x)= -1,令f (x)=0,解得x=2,x(0,2)时, f (x)0, f(x)递增,x(2,+)时, f(x)0, f(x)递减,所以当x=2时, f
6、(x)取得极大值f(2)=2ln 2-2.,考点一 函数的极值问题 角度一 已知函数求极值(点) 典例1 已知函数f(x)=ln x-ax(aR). (1)当a= 时,求f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.,考点突破,解析 (1)当a= 时, f(x)=ln x- x,函数的定义域为(0,+),且f (x)= - =, 令f (x)=0,得x=2, 于是当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:,故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+), f (x)= -a= (x0), 当a0时, f
7、 (x)0在(0,+)上恒成立, 即函数在(0,+)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点; 当a0时, 若x ,则f (x)0,若x ,则f (x)0时,函数在x= 处有 一个极大值点.,方法技巧 1.求函数极值的步骤:(1)求函数的导函数f (x);(2)求方程f (x)=0的根;(3) 检查f (x)在方程f (x)=0的根的左、右两侧值的符号. 2.当导函数的零点含有参数时,一般根据零点的大小关系对参数分类.若 导函数在以零点为一端点的相邻开区间上的符号不同,则零点是极值 点;若导函数在以零点为一端点的相邻开区间上的符号相同,则零点不 是极值点.,易错警示 已知函数求极值(点)需注意两
8、点 (1)先求函数的定义域; (2)导数为零的点不一定是极值点,所以求出导数为零的点后,还要判断 该点两侧导数值的符号.,角度二 已知函数的极值求参数,典例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求实数a,b的值.,解析 由题意可知, f(1)=10, f (1)=0, f (x)=3x2+2ax+b,则 解得 或,检验:当 时, f (x)=(3x+11)(x-1), 易知x=1是函数的极小值点,符合题意; 当 时, f (x)=3(x-1)2,x=1不是函数的极值点,不符合题意,舍去. 综上所述,a=4,b=-11.,易错警示求出参数的值后,一定要代入检验,否则
9、容易出现错误.,1-1 已知函数f(x)=x2-2ln x,则函数f(x)的极小值为 .,答案 1,解析 函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=2x- = ,由f (x)=0,得 x=1. 当x(0,1)时, f (x)0, 函数f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=1.,1-2 (2019江苏盐城高三模拟)若函数f(x)=x2+(a+3)x+ln x在区间(1,2)上 存在唯一的极值点,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 由题意得f (x)=2x+a+3+ = ,x0, 若f(x)在(1,2)上存在唯一的极值点, 则f (1)f (2)0,即(a+6)(2a+15)0,
10、解得- a-6.,典例3 (2019江苏南通高三模拟)已知函数 f(x)= +kln x,k ,求函数 f(x)在 上的最大值和最小值.,考点二 函数的最值问题 角度一 求函数的最值,解析 f (x)= + = . 若k=0,则在 上恒有f (x)0, f(x)在 上单调递减, f(x)min=f(e)= , f(x)max=f =e-1; 若k0,则f (x)= = .,若k0,由ke,则x- 0,f (x)= 0, f(x)在 上单调递减, f(x)min=f(e)= +kln e= +k-1, f(x)max=f =e-k-1. 综上,当k=0时, f(x)min= , f(x)max=
11、e-1; 当k0且k 时, f(x)min= +k-1, f(x)max=e-k-1.,方法技巧 若函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求函数f(x)在a,b上的最大值和 最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值. (2)求函数在区间端点处的函数值f(a), f(b). (3)将函数f(x)的极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.,同类练 (2017北京,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值.,解析 (1)因为f(
12、x)=excos x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x 时,h(x)0, 所以h(x)在区间 上单调递减. 所以对任意x 有h(x)h(0)=0,即f (x)0.,所以函数f(x)在区间 上单调递减. 因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)=1,最小值为f =- .,变式练 求函数f(x)= ,xm,m+1的最大值.,
13、解析 函数f(x)的定义域为(0,+),则m0.又f (x)= ,所以由f (x)=0 得x=e,且x(0,e)时, f (x)0,函数f(x)递增,x(e,+)时, f (x)e时,函数f(x)在m,m+1单调递减, f(x)max=f(m)= .,综上可得, f(x)max=,深化练 已知函数f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x,g(x)=x2-2x,若对任意x1(0, 2,均存在x2(0,2,使得f(x1)g(x2),求实数a的取值范围.,解析 由题意可得f(x)maxln 2-1,所以ln 2-1 时, f(x)在 上单调递 增,在 上单调递减,则f(x)max=f =-2l
14、n a- -2,因为a ,所以ln a ln ln =-1,则-2ln a- -2ln 2-1.,典例4 函数f(x)= (e为自然对数的底数),若f(2)是函数 f(x)的最小值,则实数a的取值范围是 .,角度二 已知函数的最值求参数,答案 2,6,解析 由f(2)是函数f(x)的最小值知,当x2时, f(x)单调递减,则a2; 当x2时, f(x)f(2)恒成立,即 +a+10(2-a)2+e,所以a2-5a+e-6.令g(x)= ,则g(x)= .由g(x)=0,得x=e,则x(2,e)时,g(x)0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(e)=e,故a2 -5a+e-6e,解得-1
15、a6.综上可得2a6.,规律总结 已知函数的最值求参数的范围,一般有两种方法:一是求出函数的最值, 与题中给出的最值建立方程求解;二是利用最值的定义转化为不等式恒 成立的问题求解.,2-1 若函数f(x)=ln x- 在区间1,e上取得最小值4,则实数m的值为.,答案 -3e,解析 f (x)= + = ,令f (x)=0,则x=-m,且当x-m时, f (x)0, f(x)单调递增. 若-m1,即m-1, f(x)min=f(1)=-m1,不可能等于4; 若1e,即m-e, f(x)min=f(e)=1- =4,解得m=-3e, 符合题意. 综上所述,m=-3e.,2-2 已知函数f(x)=
16、(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,解析 (1)f (x)=(x-k+1)ex.令f (x)=0,得x=k-1.当x变化时, f (x)与f(x)的变化情况如下:,所以f(x)的单调递减区间是(-,k-1),单调递增区间是(k-1,+). (2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k; 当0k-11,即1k2时, 由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减,在(k-1,1上单调递增,所以f(x)在区间0, 1上的最小值为f(k-1)=-ek-1; 当k-11,即k2时,函数
17、f(x)在0,1上单调递减, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.,综上, f(x)min=,考点三 函数的极值与最值的综合应用,典例5 (2019南京第三次模拟)已知R,函数f(x)=ex-ex-(xln x-x+1)的 导函数为g(x). (1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (2)若函数g(x)存在极值,求的取值范围; (3)若x1时, f(x)0恒成立,求的最大值.,解析 (1)因为f (x)=ex-e-ln x, 所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f (1)=0, 又切点为(1, f(1),即(1,0), 所以切线方程为y=0. (2)g(
18、x)=ex-e-ln x,g(x)=ex- . 当0时,g(x)0恒成立,从而g(x)在(0,+)上单调递增,故此时g(x)无极 值. 当0时,设h(x)=ex- ,则h(x)=ex+ 0恒成立,所以h(x)在(0,+)上单调递增. 当00,h = -e0,且h(x)是(0,+)上的连续函数, 因此存在唯一的x01,),使得h(x0)=0. 故当0时,存在唯一的x00,使得h(x0)=0.,且当0x0时,h(x)0,即g(x)0, 所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增, 因此g(x)在x=x0处有极小值. 所以当函数g(x)存在极值时,的取值范围是(0,+). (3)
19、g(x)=f (x)=ex-e-ln x,g(x)=ex- . 若g(x)0恒成立,则有xex恒成立. 设(x)=xex(x1),则(x)=(x+1)ex0恒成立,所以(x)单调递增,从而(x)(1)=e,即e. 于是当e时,g(x)在1,+)上单调递增, 此时g(x)g(1)=0, 即f (x)0, 从而f(x)在1,+)上单调递增. 所以f(x)f(1)=0恒成立. 当e时,由(2)知,存在x0(1,),使得g(x)在(0,x0)上单调递减, 即f (x)在(0,x0)上单调递减.,所以当1xx0时, f (x)f (1)=0, 于是f(x)在1,x0)上单调递减,所以f(x0)f(1)=
20、0. 这与x1时, f(x)0恒成立矛盾. 因此e,即的最大值为e. 方法技巧 求函数在闭区间上的最值时,既要研究函数的极值,也要研究函数的单 调性和端点处的函数值,故可以结合函数图象求解最值.,3-1 (2018江苏如皋中学阶段检测)已知函数f(x)= (a0)的导 函数y=f (x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间-5,+)上的最大值.,解析 (1)由题意知f (x)= = , 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex0,所以y=f (x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f (x)与 g(x)的符号相同. 又因为a0,所以-30,即f (x)0, f(x)递增; 当x0时,g(x)0,即f (x)0, f(x)递减,所以f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+). (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,所以有 解得a=1,b=5,c=5, 所以f(x)= . 因为f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 又f(-5)= =5e55, 所以函数f(x)在区间-5,+)上的最大值是5e5.,
