1、第八节 函数与方程,1.函数的零点,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,3.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤,教材研读,考点一 函数的零点,考点二 二次函数的零点(二次方程的实根分布),考点突破,1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),使 f(x)=0 成立的实数x叫做函数y=f(x)(x D)的零点.,教材研读,(2)几个等价关系 方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与 x轴 有交点函数y=f(x) 有 零点 . (3)函数零点的判定 如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,并且有 f(a)f(b)0
2、,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c (a,b),使得 f(c)=0 ,这个 c 也就是 f(x)=0的根.我们把这一结论 称为零点存在性定理.,2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与零点的关系,3.用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 第一步,确定区间a,b,验证 f(a)f(b)0 ,给定精确度; 第二步,求区间(a,b)的中点x1; 第三步,计算 f(x1) : a.若 f(x1)=0 ,则x1就是函数的零点; b.若 f(a)f(x1)0 ,则令b=x1(此时零点x0(a,x1); c.若 f(x1)f(b)0 ,则令a=x1(此时零点x0(x1,
3、b); 第四步,判断是否达到精确度:若|a-b|,则得到零点的近似值a(或b);否则,重复第二、三、四步.,1.若函数y=mx2-6x+2的图象与x轴只有1个公共点,则实数m的值为 .,答案 0或,解析 当m=0时,函数y=-6x+2的图象与x轴只有1个公共点 ,满足条 件;当m0时,=36-8m=0,m= ,故m=0或 .,2.方程|log2x|+x-2=0的解的个数为 .,答案 2,解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=|log2x|,y=2-x的图象(图略), 两图象有两个交点,所以方程|log2x|+x-2=0有两个解.,3.(2018常州教育学会学业水平检测)若函数f(x)=2x+
4、x-2的零点在区间(k, k+1)(kZ)中,则k的值为 .,答案 0,解析 f(x)=2x+x-2在R上单调递增,且f(0)=-10,所以f(x)在(0,1) 内有唯一的零点,故k=0.,4.设a为实数,若函数f(x)= - -a存在零点,则实数a的取值范围是.,答案 -2,2,解析 函数f(x)的定义域是-1,3,令g(x)= - ,x-1,3,易知g(x) 在-1,3上单调递减,所以g(x)-2,2,则结合题意得-2a2.,5.若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两个实根,满足01 2,则实 数t的取值范围是 .,答案,解析 令f(x)=3tx2+(3-7t)x+4.因为f(
5、0)=40,且方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两 个根分别在区间(0,1)和(1,2)中,所以 解得 t5,所以t 的取值范围是 .,6.(2018江苏镇江期末)已知mR,函数f(x)= 若函数y=f(x)- m有3个不同的零点,则实数m的取值范围是 .,答案 (0,3,解析 函数y=f(x)-m有3个不同的零点,则y=f(x),y=m的图象有3个不同的 交点,画出函数y=f(x),y=m的图象(图略),由图象可得0m3.,考点一 函数的零点 角度一 函数零点所在区间的判断 典例1 (2018宿迁模拟)设函数y=x3与y= 的图象的交点坐标为(x0, y0),若x0(n,n+1),nN,
6、则n= .,答案 1,解析 令f(x)=x3- ,则函数f(x)在R上递增,且f(1)=1-2=-10,则n=1.,考点突破,方法技巧 判断函数在某个区间中是否存在零点的方法 (1)解方程:当对应方程容易求解时,可将方程的根解出来,看根是否在给 定区间中. (2)利用函数零点存在性定理:首先看函数f(x)在区间a,b上的图象是否 连续,若连续,再看f(a)f(b)0是否成立,若成立,则函数f(x)在区间(a,b)中 必有零点. (3)数形结合法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间中是否有 交点来判断.,角度二 判断函数零点个数,典例2 (1)已知函数f(x)= -cos x,则f(x)
7、在0,2上的零点个数为 . (2)(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)设函数y=f(x)是定义域为 R,周期为2的周期函数,且当x-1,1)时, f(x)=1-x2,已知函数g(x)= 则函数y=f(x)-g(x)在区间-5,10内的零点个数为 .,答案 (1)3 (2)15,解析 (1)令f(x)=0,得 =cos x, 分别作出y= 和y=cos x的大致图象,由图象可知y= 的图象和y=cos x的图象在0,2上有3个交点. 所以f(x)在0,2上有3个零点. (2)函数y=f(x)-g(x)在区间-5,10内的零点个数为函数y=f(x),y=g(x),x -5,10的图象的交点
8、个数,在同一平面直角坐标系中作出函数图象如图, 当x9,10时, f(9)=0g(9)=lg 9, f(10)=1=g(10)=lg 10,所以两图象在区间 (9,10)内还有一个交点,所以两个函数的图象在给定区间内共有15个交 点,故函数零点个数是15.,方法技巧 函数零点个数的判断方法,角度三 已知函数的零点个数,求参数的取值范围 典例3 (1)(2019江苏扬州中学高三模拟)已知函数f(x)= 函 数g(x)=b-f(2-x),其中bR,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则实数b的取 值范围是 . (2)函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x0,1时
9、, f(x)= 2x.若在区间-2,3上,方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数 a的取值范围是 .,答案 (1) b2 (2),解析 (1)函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则关于x的方程 b=f(x)+f(2-x)= 有4个根,作出函数的大致图象如图,由图象可得 b2. (2)在区间-2,3上,方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则f(x)= a(x+2)有四个不相等的实数根, 令g(x)=a(x+2),则问题转化为函数f(x)和g(x)的图象有四个不相同的交 点, f(x+2)=f(x),函数f(x)的周期是2, 当-1x0时,0-x1,此时f(
10、-x)=-2x, f(x)是定义在R上的偶函数,f(-x)=-2x=f(x),即f(x)=-2x. 作出函数f(x)和g(x)的图象,如图:当g(x)的图象经过A(1,2)时,两个图象有3个交点,此时g(1)=3a=2,解得a= ; 当g(x)的图象经过B(3,2)时,两个图象有5个交点, 此时g(3)=5a=2,解得a= , 在区间-2,3上,要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根, 则实数a的取值范围是 a .,方法技巧 已知函数零点个数,求参数的取值范围,一般转化为函数图象的交点个 数,利用数形结合思想求解.,同类练 已知k为常数,函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=
11、kx+2有 且只有4个不同的解,则实数k的取值构成的集合为 .,答案 (-e,-1),解析 方程f(x)=kx+2有且只有4个不同的解,则函数y=f(x),y=kx+2的图象 有且只有4个交点,作出函数y=f(x)的图象如图,当直线y=kx+2与f(x)=ln x, x1的图象相切时,设切点坐标为(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0= (x-x0), 代入(0,2)得x0=e3,此时k= = ,直线与曲线有且只有4个交点;当直线y= kx+2与f(x)= ,-1x0的图象在x=0处相切时,k=f (0)=-1;当直线y=kx+ 2与f(x)=-ln x,0x1的图象相切时,设切点坐
12、标为(x0,-ln x0),则切线方程为,y+ln x0=- (x-x0),代入(0,2)得x0= ,此时k=- =-e,直线与曲线有且只有3 个交点,由图象可得当-ek-1时,直线与曲线有且只有4个交点,综上可 得实数k的取值构成的集合为 (-e,-1).,变式练 (2018宿迁期末)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)- m(mR)有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1x2x3,则(x1x2+1)m-x3的取值范围是 .,答案 (-2,0),解析 函数g(x)=f(x)-m(mR)有3个不同的零点x1,x2,x3,且x1x2x3,即y=f (x),y=m的图象有3个不同的交点,作
13、出函数图象可得0m1,x1x2=1,x3=3- m,则(x1x2+1)m-x3=2m+m-3,m(0,1),易知函数y=2m+m-3,m(0,1)单调递增, 故(x1x2+1)m-x3的取值范围是(-2,0).,深化练 (2018南通高三调研)已知函数f(x)= g(x)=x2+ 1-2a,若函数y=f(g(x)有4个零点,则实数a的取值范围是 .,答案 (1+),解析 令g(x)=t,则f(t)=0,当1-a1时, f(t)有两个零点t1=-1,t21,要使 函数y=f(g(x)有4个零点,只需1-2a1;当1-a=0,a=1时, f(t)有3个零点 t1=-1,t2=0,t3=2,此时函数
14、y=f(g(x)有5个零点,不符合题意,舍去;当1-a0, 即a-1,要使函数y=f(g(x)有4个零点,则=4a2+4a-40,且a- 1-2a,解得 a1,综上可得,实数a的取值范围是 (1+).,1-1 方程log3x+x=3的根所在的区间为(n,n+1),nZ,则n= .,答案 2,解析 方程log3x+x=3的根所在的区间即为函数y1=log3x与y2=3-x的图象 的交点的横坐标所在的区间,两函数图象 如图所示. 由图知方程log3x+x=3的根所在的区间为(2,3). 故n=2.,1-2 已知符号函数sgn x= 则函数f(x)=sgn(ln x)-ln x的零点个数 为 .,答
15、案 3,解析 当x1时,ln x0,sgn(ln x)=1; 当x=1时,ln x=0,sgn(ln x)=0; 当0x1时,ln x0,sgn(ln x)=-1. 所以 f(x)=sgn(ln x)-ln x= 由f(x)=0得x=e或1或 , 故f(x)有3个零点.,考点二 二次函数的零点(二次方程的实根分布) 典例4 当关于x的方程的根满足下列条件时,求实数k的取值范围:,(1)方程x2-4x+k+2=0的两根都在区间-1,3上; (2)方程x2+kx+1=0的一个根在区间(0,1)上,另一根在区间(1,2)上; (3)方程x2+kx+2=0至少有一个实根小于-1.,解析 (1)设f(x
16、)=x2-4x+k+2,则方程的两个根都在-1,3上等价于 1k2. (2)设f(x)=x2+kx+1,则方程的一个根在(0,1)上,另一根在(1,2)上等价于 - k-2.,(3)方程x2+kx+2=0至少有一个实根小于-1,即方程x2+kx+2=0在(-,-1)内 有解,则-k=x+ ,x-1有解,则-k-2 ,k2 .,规律总结 若一元二次方程的两个实根分布在同一区间D上,则条件要从4个方面 考虑:一是对应的函数的图象的开口方向,二是对应的函数的图象的对 称轴在区间D上,三是判别式大于(等于)0,四是区间端点的函数值的符 号;若一元二次方程的两个实根分布在两个不同区间上,则条件只要考 虑
17、两个方面:一是对应的函数的图象的开口方向,二是区间端点的函数 值的符号;若一元二次方程在某个范围内有解,则一般利用分离参数法 转化为函数值域的求解.,探究 (变条件)(2019江苏泰州中学模拟)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a的两 个零点分别为x1,x2(x1x2),且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a 的取值范围是 .,答案,解析 f(x)=x2-2ax+15-2a有两个零点,=4a2-4(15-2a)0,解得a3.当a3时,注意到f(3)0,若f(2) 0,则有 解得 a ,若f(2)0,则有 无解. 综上, a .,2-1 已知函数f(x)=x2+2mx+2m+1. (1)若f(x)在区间(-1,0)和(1,2)内分别有1个零点,求实数m的取值范围; (2)若f(x)的两个零点均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.,解析 (1)依题意知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(- 1,0)和(1,2)内, 则有 即 解得- m- ,即实数m的取值范围是 .,(2)依题意知,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点均落在区间(0,1)内, 得 即 解得- m1- ,即实数m的取值范围是 .,
