1、高考数学（浙江专用）,11.2 二项式定理,考点 二项式定理及其应用,考点清单,考向基础 1.二项式定理:(a+b)n= an+ an-1b1+ an-rbr+ bn(nN*).这个公 式所表示的定理叫做二项式定理. 2.几个基本概念 (1)二项展开式:二项式定理中的公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展 开式. (2)项数:二项展开式中共有n+1项. (3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数 (r=0,1,2,n)叫做 二项式系数.,(4)通项:二项展开式中的 an-rbr 叫做二项展开式的通项,用Tr+1表 示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1= an-rbr(r=0,1,n).
2、3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1+ x+ x2+ x3 + xn.如果设a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 x+(-1)2 x2+(- 1)n xn. 4.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n(a,bR)的展开式中,第r+1 项的二项式系数是 ,而第r+1项的系数为 an-rbr. 5.通项公式主要用于求二项式的指数,求满足条件的项或系数,求展开式 的某一项或系数.在运用公式时要注意以下几点: (1) an-kbk是第k+1项,而不是第k项; (2)运用通项公式Tk+1= an-kbk解题时,一般都需先转化为方程(组)求
3、出n、k,然后代入通项公式求解;,(3)求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某 项;有时需要求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系. 6.在(a+b)n的展开式中,令a=b=1,得 + + =2n;令a=1,b=-1,得 - + - +=0, + + += + + +=2n-1. 7.对二项式系数性质的理解 (1)对称性:由组合数的性质“ = ”,得从“ = =1”开始,由左右 分别向中间靠拢,便有 = , = , (2)最大值:当n为偶数时,(a+b)n的展开式共有n+1项,n+1是奇数,这时展 开式的形式是,中间一项是第 +1项,它的二项式系数是 ,
4、它是所有的二项式系数中 的最大者. 当n为奇数时,(a+b)n的展开式共有n+1项,n+1是偶数,这时展开式的形式 是中间两项是第 、 +1项,它们的二项式系数分别是 、 , 这两个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大者.,考向突破,考向一 求指定项或指定项系数,例1 (2018浙江温州二模(3月),5)在 的展开式中,常数项是 ( ) A. B.- C.8 D.-8,解析 的展开式的通项为Tr+1= (-2x)r=(-2)r (0r9),令 =0,得r=3,常数项为T4=(-2)3 =-8 ,故选D.,答案 D,考向二 求二项式系数之和或展开式系数之和,例2 (2018浙江嘉兴教学测试(4
5、月),13)(x+2)(x+1)6的展开式中含x3项的 系数为 ;所有项系数的和为 .,解析 因为(x+1)6的展开式的通项公式为Tr+1= x6-r,所以(x+2)(x+1)6的展 开式中含x3项为x x2+2 x3=15x3+40x3=55x3,故其系数为55.令x=1,可得 所有项系数的和为(1+2)(1+1)6=192.,答案 55;192,方法1 求指定项或指定项系数的方法 求二项展开式中指定项或指定项的系数,通常是根据已知条件,利用通 项公式求r,再求Tr+1或Tr+1的系数,有时还需先求幂指数n,再求r,才能求出 Tr+1或Tr+1的系数.,方法技巧,例1 (2018浙江名校协作
6、体期初,5) (1-x)4展开式中x2的系数为 ( ) A.16 B.12 C.8 D.4,解析 展开式中含x2的项为 (-x)3+2 (-x)2=8x2.故展开式中x2的系数 为8,故选C.,答案 C,方法2 求二项式系数或展开式系数之和的方法 对于二项式系数和与展开式系数和问题,首先,应掌握二项式系数的性 质: + + + =2n, + + += + + +=2n-1.其次,要掌握 赋值法.,例2 (2018浙江浙东北联盟期中,12) 的展开式中各项二项式 系数之和为64,则n= ,展开式中的常数项为 .,解析 的展开式中各项二项式系数之和为64,2n=64,n=6,= ,其通项为Tr+1= (2x)6-r = (-1)r26-r ,令6-r=0,得r=4,常数项为T5= 22=60.,答案 6;60,
