1、4.8正弦定理和余弦定理应用举例,教材研读,1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.,2.实际问题中的常用角,3.解三角形应用题的一般步骤,考点突破,考点一 测量距离问题,考点二 测量高度,考点三 测量角度问题,1.正弦定理和余弦定理在实际测量中的主要应用有:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.,教材研读,2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在 水平线 上方 的角叫仰角,目标视线在水平线 下方 的角叫俯 角(如图甲).,(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如
2、南偏东30,北 偏西45等. (3)方位角 从 正北 方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的,方位角为(如图乙). (4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角. (附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度之比),3.解三角形应用题的一般步骤 (1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的 关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题; (3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解; (4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算 等的要求.,1.从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则与的关系为( B ) A. B.=
3、C.+=90 D.+=180,2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40的方 向上,则灯塔A与灯塔B的距离为 ( B ),A.a km B. a km C. a km D.2a km,3.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是4 5,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD=120,CD= 40 m,则电视塔的高度为 ( D )A.10 m B.20 m C.20 m D.40 m,4.在相距2千米的A、B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60, 则A、C
4、两点之间的距离为 千米.,5.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75距灯塔68 海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速 度为 海里/时.,解析 如图,由题意知MPN=75+45=120,PNM=45.在PMN中, = , MN=68 =34 (海里).,又由M到N所用的时间为14-10=4(小时), 此船航行的速度v= = 海里/时.,测量距离问题 典例1 如图所示,某旅游景点有一座山峰,山上有一条笔直的山路BC和 一条索道AC,而小王和小李打算花2个小时的时间进行徒步攀登,已知 ABC=120,ADC=150,BD=1 km,AC=3 km.假设小
5、王和小李徒步攀登 的速度为每小时1 250米,请问:小王和小李能否在2个小时内徒步登上山 顶?(即从B点出发到达C点),考点突破,解析 在ABD中,由题意知,ADB=BAD=30,所以AB=BD=1,因为 ABD=120,由正弦定理得 = ,解得AD= .,在ACD中,由AC2=AD2+DC2-2ADCDcos 150, 得9=3+CD2+2 CD, 即CD2+3CD-6=0,解得CD= , 所以BC=BD+CD= , 2个小时小王和小李可徒步攀登1 2502=2 500(米)=2.5(千米), 而 = =2.5, 所以小王和小李可以在2个小时内徒步登上山顶.,探究 若本例条件“BD=1 km
6、,AC=3 km”变为“BD=200 m,CD=300 m”,其他条件不变,则这条索道AC长为 100 m.,解析 在ABD中,BD=200,ABD=120. 因为ADB=30,所以DAB=30, 由正弦定理,得 = , 所以 = , 所以AD=200 (m). 在ADC中,DC=300 m,ADC=150,所以AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC,=(200 )2+3002-2200 300cos 150 =390 000,所以AC=100 m. 故这条索道AC长为100 m.,方法技巧 求解距离问题的一般步骤 (1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题; (2)明确所求的距离在
7、哪个三角形中,有几个已知元素; (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形.,易错警示 解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据(原始数据),少 用间接求出的量.,1-1 如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出 四边形ABCD各边的长度:AB=5 km,BC=8 km,CD=3 km,DA=5 km,且B 与D互补,则AC的长为 ( A )A.7 km B.8 km C.9 km D.6 km,解析 82+52-285cos(-D)=32+52-235cos D,cos D=- ,在ACD中,由余弦定理可计算得AC= =7.则AC的长为7 km.,测量高度,典例
8、2 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得 公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此 山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD= 100 m.,解析 依题意有AB=600,CAB=30, CBA=180-75=105,DBC=30,DCCB. ACB=45, 在ABC中,由 = , 得 = , 有CB=300 , 在RtBCD中,CD=CBtan 30=100 ,则此山的高度CD=100 m.,易错警示 解决高度问题的注意事项 (1)在解决有关高度的问题时,要理解仰角、俯角的概念. (2)在实际问题中,可能会遇到同时研究空间与平面(
9、地面)的问题,这时 最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又 不容易出错. (3)一般是把高度问题转化成三角形的问题,要注意三角形中的边角关 系的应用,若是空间的问题,则要注意空间图形和平面图形的结合.,2-1 (2018浙江名校协作体联考)如图,为了估测某塔的高度,在同一水 平面的A,B两点处进行测量,在点A处测得塔顶C在西偏北20的方向上, 仰角为60,在点B处测得塔顶C在东偏北40的方向上,仰角为30.若A,B 两点相距130 m,则塔CD的高度为 10 m.,解析 设CD=h m,则AD= m,BD= h m,在ADB中,ADB=180-20 -40=120,由
10、余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BDADcos 120,可得1302=3h2+ -2 h ,解得h=10 (负值舍去),故塔的高度为10 m.,典例3 如图,在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇(位于A处)发 现在北偏东45方向,相距12 km的水面B处,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 km的速度沿南偏东75方向前进,若红方侦察艇以每小时14 km的速 度,沿北偏东45+方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求 红方侦察艇所需的时间和角的正弦值.,测量角度问题,解析 如图,设红方侦察艇在C处拦截住蓝方的小艇,且经过的时间为x 小时,则AC=14x(km),BC=10x(km),
11、ABC=120.,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120, 解得x=2(负值舍去). 故AC=28 km,BC=20 km. 根据正弦定理得 = , 解得sin = = . 所以要使红方侦察艇在最短的时间内拦截住蓝方小艇,则所需要的时间 为2小时,角的正弦值为 .,易错警示 解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方向角的含义; (2)分析题意,分清已知与所求,根据题意正确画出示意图,这是最关键、 最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定 理的综合运用.,3-1 从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条路线.路线1是从 A沿直 线步行到C,路线2是先从A沿直线步行到景点B处,然后从B沿直线步行 到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行,甲的速度是乙的速 度的 倍,甲走路线2,乙走路线1,最后他们同时到达C处.经测量,AB=1 0 40 m,BC=500 m,则sinBAC等于 .,解析 依题意,设乙的速度为x m/s, 则甲的速度为 x m/s, 因为AB=1 040 m,BC=500 m, 所以 = ,解得AC=1 260 m, 在ABC中,由余弦定理可知cosBAC= = = ,所以sinBAC= = = .,
