1、第四节 函数的图象,1.描点法作图,2.函数图象间的变换,3.函数图象的对称性,教材研读,考点一 作函数的图象,考点二 函数图象的识辨,考点三 函数图象的应用,考点突破,1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的 性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(或者变化趋势);(4)描点连线, 画出函数的图象.,教材研读,2.函数图象间的变换 (1)平移变换:,y=f(x) y= f(x) ; y=f(x) y= Af(x) . (3)对称变换: y=f(x) y= -f(x) ; y=f(x) y= f(-x) ; y=f(x) y= -f(-x) .,
2、(2)伸缩变换:,(4)翻折变换: y=f(x) y= f(|x|) ; y=f(x) y= |f(x)| .,3.函数图象的对称性 (1)函数图象自身的轴对称 f(-x)=f(x)y=f(x)的图象关于y轴对称; 函数y=f(x)的图象关于x=a对称f(a+x)=f(a-x)f(x)=f(2a-x)f(-x)= f(2a+x); 若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于 直线x= 对称., f(-x)=-f(x)函数y=f(x)的图象关于原点对称; 函数y=f(x)的图象关于(a,0)对称f(a+x)=-f(a-x)f(x)=-f(2a-x
3、)f(-x)= -f(2a+x); 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称f(a+x)=2b-f(a-x)f(x)=2b- f(2a-x);,(2)函数图象自身的中心对称,函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称; 函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称; 函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.,(3)两个函数图象之间的对称关系 函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x= 对称(由a+x=b-x得对 称轴方程);,1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)将函数y=f(x)的图象先向左
4、平移1个单位,再向下平移1个单位得到函 数y=f(x+1)+1的图象. ( ) (2)当x(0,+)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. ( ) (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称. ( ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称. ( ),2.函数f(x)= -x的图象关于 ( C ) A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称,答案 C f(x)= -x是奇函数, 图象关于原点对称.,3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑 步,乙先跑步
5、到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑 车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数 图象中,甲、乙的图象应该是 ( ),A.甲是图,乙是图 B.甲是图,乙是图 C.甲是图,乙是图 D.甲是图,乙是图,答案 B 由题意知甲先快后慢,且前半程用时要比后半程少,也比乙后 半程用时少,故符合,而由乙的运动知其符合.,4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 .,答案 (0,+),解析 由题意得a=|x|+x,令y=|x|+x= 其图象如图所示,故要使a=|x |+x只有一个解,
6、则a0.,典例1 分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|;,(2)y=x2-2|x|-1.,作函数的图象,考点突破,解析 (1)y= 的图象如图. (2)y= 的图象如图.,方法技巧 函数图象的常见画法 (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,可 根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可去掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.,易错警示 (1)画函数的图象一定要注意定义域. (2)利用图象变换
7、法时要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函 数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析 式的影响.,1-1 分别作出下列函数的图象. (1)y=|x-2|(x+1); (2)y= .,解析 (1)当x2,即x-20时, y=(x-2)(x+1)=x2-x-2= - ; 当x2,即x-20时,y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2 =- + .所以y= 其图象如图所示.,(2)作出y= 的图象,保留y= 图象中x0的部分,去掉图象中x0部分关于y轴的对称部分,即得y= 的 图象,如图中实线部分所示.,典例2 (1)(2018课标全国,7,5分)函数y=-x4+x2+2
8、的图象大致为( D ),函数图象的识辨,(2)函数f(x)= 的图象如图所示,则下列结论成立的是( C ),A.a0,b0,c0,c0 C.a0,c0 D.a0,b0,c0,解析 (1)f(x)=-x4+x2+2,f (x)=-4x3+2x,令f (x)0,解得x ,此时, f(x)递减.由此 可得f(x)的大致图象.故选D. (2)函数f(x)的定义域为x|x-c, 由题中图象可知-c=xP0,即c0,则 0.所以a,b异号,排除A,D.故选C.,规律总结 已知函数解析式判断函数图象的方法 (1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象 的上下位置; (2)根据函数的单调性
9、判断图象的变化趋势; (3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性; (4)根据函数的周期性判断图象的循环往复.,2-1 (2019山西太原期末)如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段, AD和BC是圆弧,直线l与AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公 共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关 于x的图象大致是 ( ),答案 C 当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D 点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又 逐渐减慢.故选C.,2-2 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是( A
10、 )A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= -1 D.f(x)=x-,答案 A 由函数图象可知,函数f(x)为奇函数,应排除B、C.若函数为 f(x)=x- ,则x+时, f(x)+,与题图矛盾,排除D,故选A.,典例3 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( C ) A. f(x)是偶函数,递增区间是(0,+) B. f(x)是偶函数,递减区间是(-,1) C. f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D. f(x)是奇函数,递增区间是(-,0),函数图象的应用,(2)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实
11、根,则 实数k的取值范围是 ( B ) A. B. C.(1,2) D.(2,+),解析 (1)将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)= 画出函 f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x) 为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.,(2)f(x)= 如图,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= .要使方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个 不同的交点,由图可知, k1.,方法技巧,1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或容易画出给定区间上图象的函数,其性质(单调性、奇偶 性、周期性、最值
12、(值域)、零点)常借助于函数的图象研究,但一定要注 意函数的性质与图象特征的对应关系.,2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x) =0的根就是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就 是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标.,同类练 下列区间中,是函数f(x)=|lg(2-x)|的一个增区间的是 ( D ) A.(-,1 B. C. D.1,2),答案 D 用图象法解决,将y=lg x的图象关于y轴对称得到y=lg(-x)的图 象,再向右平移两个单位,得到y=lg-(x-2)的图象,将得到的图象在x轴下 方的部分翻折上来,即得到f(x)=|lg(2-x)|的图象,由图象知,在选项中的区 间上f(x)是增函数的显然只有D.,变式练 已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k有两个不等的 实数根,则实数k的取值范围是 .,答案 (0,1,解析 作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示,由图象可知k(0,1.,深化练 已知函数f(x)= 若f(3-a2)f(2a),则实数a的取值范 围是 .,答案 -3a1,解析 根据所给的分段函数画函数图象如下:由图象可知函数在整个定义域上是单调递减的,由f(3-a2)2a,解得-3a1.,
