1、1第三章 统计案例A 基础达标1对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据：( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)，则下列说法中不正确的是( )A由样本数据得到的回归方程 x 必过样本点的中心( , )y b a x y B 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C用相关指数 R2来刻画回归效果， R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D 若变量 y 和 x 之间的相关系数 r0.936 2，则变量 y 与 x 之间具有线性相关关系解析：选 C.R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选 C.2下列说法中正确的有：( )若 r0，则 x 增大
2、时， y 也相应增大；若 r0，则 x 增大时， y 也相应增大；若 r1 或 r1，则 x 与 y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上A BC D解析：选 C.若 r0，表示两个相关变量正相关， x 增大时， y 也相应增大，故正确，r0，表示两个变量负相关， x 增大时， y 相应减小，故错误| r|越接近 1，表示两个变量相关性越高，| r|1 表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故正确3若两个变量的残差平方和是 325， 923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )A64.8% B60%C35.2% D40%解析：选 C.由题意可知随机误差对预报变量的
3、贡献率约为 0.352.3259234有下列数据x 1 2 3y 3 5.99 12.01下列四个函数中，模拟效果最好的为( )A y32 x1 B ylog 2xC y3 x D y x2解析：选 A.分别把 x1，2，3，代入求值，求最接近 y 的值，即为模拟效果最好，故选 A.5通过随机询问 100 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：2男 女 合计爱吃 10 40 50不爱吃 20 30 50合计 30 70 100P(K2 k) 0.10 0.05 0.025k 2.706 3.841 5.024由 K2 ，计算得n（ ad bc） 2（ a b） （ c d） （ a
4、 c） （ b d）K2 4.762.100（ 1030 2040） 250503070参照附表，得到的正确结论为( )A在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B 在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C有 97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D 有 97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”解析：选 A.因为 K24.7623.841， P(K23.841)0.05.所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” ，故选 A.6某种活性细胞的存活率 y(%)与存放温度 x()之间有如下几组样
5、本数据：存放温度 x() 10 4 2 8存活率 y(%) 20 44 56 80经测算，上述样本数据具有线性相关关系，且回归直线的斜率为3.2.则当存放温度为 6 时，该种细胞的存活率的预报值为_%.解析：设回归直线方程为 3.2 x ，因为 1， 50，则 3.2 53.2.当y a x y a y x x6 时， 3.2653.234.y 答案：347已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数 y3 e2x1 的图象附近，则可通过转换得到的线性回归方程为_解析：由 y3e 2x1 ，得 ln y ln(3e2x1 )，即 ln yln 32 x1，令 uln y， v
6、 x，则线性回归方程为 u1ln 32 v.3答案： u1ln 32 x(其中 uln y)8为了调查患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了 100 名 50 岁以下的人，调查结果如下表：患慢性气管炎 未患慢性气管炎 总计吸烟 20 20 40不吸烟 5 55 60总计 25 75 100根据列联表数据，求得 K2_(保留 3 位有效数字)，根据下表，在犯错误的概率不超过_的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关附：P(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2 .n（ ad bc） 2（ a b） （ c d） （ a c） （ b d）解析： K2
7、的观测值 k 22.210.828.100（ 2055 205） 240602575所以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为患慢性气管炎与吸烟有关答案：22.2 0.0019某学校高三年级有学生 1 000 名，经调查，其中 750 名同学经常参加体育锻炼(称为 A类同学)，另外 250 名同学不经常参加体育锻炼(称为 B 类同学)，现用分层抽样方法(按 A类、 B 类分两层)从该年级的学生中共抽查 100 名同学，如果以身高达 165 cm 作为达标的标准，对抽取的 100 名学生，得到以下列联表：身高达标 身高不达标 总计经常参加体育锻炼 40不经常参加体育锻炼 15总计 100
8、(1)完成上表；(2)能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系( K2的观测值精确到 0.001)?解：(1)填写列联表如下：4身高达标 身高不达标 总计经常参加体育锻炼 40 35 75不经常参加体育锻炼 10 15 25总计 50 50 100(2)由列联表中的数据，得 K2的观测值为k 1.3333.841.100（ 4015 3510） 275255050所以不能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系10某城市理论预测 2011 年到 2015 年人口总数与年份的关系如表所示：年份 2011 x(年) 0 1
9、 2 3 4人口数 y(十万) 5 7 8 11 19(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ；y b a (3)据此估计 2018 年该城市人口总数解：(1)散点图如图：(2)因为 2，x 0 1 2 3 45 10，y 5 7 8 11 195 3.6；a y b x 所以线性回归方程为 3.2 x3.6.y (3)令 x7，则 3.273.626.y 即估计 2018 年该城市人口总数为 26 十万B 能力提升511(2018河南洛阳 3 月模拟)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各 5 个城市，得到观
10、看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损.东部 西部 9 8 8 3 3 72 1 0 9 9 (1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了 4 位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：年龄 x 20 30 40 50周均学习成语知识时间 y 2.5 3 4 4.5根据表中数据，试求线性回归方程 x ，并预测年龄为 60 岁的观众周均学习成语知识y b a 的时间解：(1)设被污损
11、的数字为 a，则 a 有 10 种情况由 888990919283838790 a99，得 a8，所以有 8 种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，所求概率为 .810 45 y x3.5 35 .a b 7100 2120所以 x .y 7100 2120当 x60 时， 5.25.y 6即预测年龄为 60 岁的观众周均学习成语知识的时间为 5.25 小时12(选做题)为了调查某地区成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各 20人组成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，得到了如下茎叶图根据医学知识，我们认为此项指标大于 40
12、为偏高，反之即为正常(1)依据上述样本数据研究此项血液指标与性别的关系，列出 22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为此项血液指标与性别有关系？(2)以样本估计总体，视样本频率为概率，现从本地区随机抽取成年男性、女性各 2 人，求此项血液指标为正常的人数 X 的分布列及数学期望附： K2 ，其中 n a b c d，n（ ad bc） 2（ a b） （ c d） （ a c） （ b d）P(K2 k0) 0.025 0.010 0.005k0 5.024 6.635 7.879解：(1)由茎叶图可得 22 列联表：正常 偏高 合计男性 16 4 20女性 12
13、8 20合计 28 12 40K2n（ ad bc） 2（ a b） （ c d） （ a c） （ b d） 1.9056.635，40（ 168 412） 220202812所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为此项血液指标与性别有关系(2)由样本数据可知，男性正常的概率为 ，女性正常的概率为 .45 35此项血液指标为正常的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，P(X0)(1 )2(1 )2 ，45 35 46257P(X1)C (1 )(1 )2(1 )2C (1 ) ，1245 45 35 45 1235 35 44625P(X2) C C ，(45)2 (1 35)2 1245(1 45)1235 (1 35) (1 45)2 (35)2 169625P(X3)C C ，1245(1 45)(35)2 (45)2 1235 (1 35) 264625P(X4) (45)2 (35)2 ，144625所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 4625 44625 169625 264625 144625所以 E(X)0 1 2 3 4 2.8，4625 44625 169625 264625 144625即此项血液指标为正常的人数 X 的数学期望为 2.8.
