1、1三 排序不等式, 学生用书 P49)A 基础达标1设正实数 a1， a2， a3的任一排列为 a 1， a 2， a 3，则 的最小a1a 1 a2a 2 a3a 3值为( )A3 B6C9 D12解析：选 A.设 a1 a2 a30，则 0，1a3 1a2 1a1由排序不等式可知 3.a1a 1 a2a 2 a3a 3 a1a1 a2a2 a3a3当且仅当 a 1 a1， a 2 a2， a 3 a3时等号成立2某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投 m 分钟，第二人投 n分钟，第三人投 p 分钟某班级三名运动员 A， B， C 每分钟能投进的次数分别为a， b， c，已知
2、 m n p， a b c，如何派三人上场能取得最佳成绩？( )A A 第一， B 第二， C 第三 B B 第一， A 第二， C 第三C C 第一， B 第二， A 第三 D A 第一， C 第二， B 第三解析：选 A.因为 m n p， a b c，且由排序不等式知顺序和为最大值，所以最大值为 ma nb pc，此时分数最高所以，三人上场顺序是 A 第一， B 第二， C 第三3若 A x x x ， B x1x2 x2x3 xn1 xn xnx1，其中 x1， x2， xn都21 2 2n是正数，则 A 与 B 的大小关系为( )A A B B A BC A B D A B解析：选
3、C.因为序列 xn的各项都是正数，不妨设 0 x1 x2 xn，则x2， x3， xn， x1为序列 xn的一个排列由排序原理，得x1x1 x2x2 xnxn x1x2 x2x3 xnx1，即 x x x x1x2 x2x3 xnx1.21 2 2n故选 C.4车间里有 5 台机床同时出了故障，从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 4 min，8 2min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产 1 min 损失 5 元，经合理安排损失最少为( )A420 元 B400 元C450 元 D570 元解析：选 A.停产总时间是 5t14 t23 t32 t4 t5.由排序不等式得
4、，当 t1 t2 t3 t4 t5时，总时间取最小值所以，总时间最小值为 544536281084，即损失最少为845420(元)5已知 a， b， c 为正实数，则 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：选 B.设 a b c0，所以 a3 b3 c3.根据排序原理，得 a3a b3b c3c a3b b3c c3a.又知 ab ac bc， a2 b2 c2，所以 a3b b3c c3a a2bc b2ca c2ab，所以 a4 b4 c4 a2bc b2ca c2ab，即 a2(a2 bc) b2(b2 ac)
5、c2(c2 ab)0.6如图所示，矩形 OPAQ 中， a1 a2， b1 b2，则阴影部分的矩形的面积之和_空白部分的矩形的面积之和(填“” “”或“”)解析：阴影面积为 a1b1 a2b2，而空白面积为 a1b2 a2b1.根据顺序和反序和可知答案答案：7已知在锐角三角形 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 a b c.若 M acos C bcos B ccos A， N acos B bcos C ccos A，则 M 与 N 的大小关系是_解析：因为锐角三角形 ABC 中， a b c，所以 A B C90，所以 cos Acos Bcos C，由排
6、序不等式可知 M N.3答案： M N8某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件和 2 件现在选择商店中单价分别为 3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要花_元，最多要花_元解析：两组数 2 件、4 件、5 件与 1 元、2 元、3 元的反序和S123425119(元)顺序和 S221425325(元)根据排序原理可知至少花 19 元，最多花 25 元答案：19 259已知 a， b， c 为正数，用排序不等式证明：2( a3 b3 c3) a2(b c) b2(c a) c2(a b)证明：设正数 a， b， c 满足 a b c，则 a2 b2 c2，由排序不等式得，a2
7、b b2c c2a a3 b3 c3， a2c b2a c2b a3 b3 c3，两式相加，得：2( a3 b3 c3) a2(b c) b2(c a) c2(a b)10已知 x， y， z 都是正数，且 x y z1，求 的最小值x2y y2z z2x解：不妨设 x y z0，则 0，且 x2 y2 z20，由排序不等式，得1z 1y 1x z2 y2 x2 x y z.y2z x2y z2x 1z 1y 1x又 x y z1，所以 1，当且仅当 x y z 时，等号成立x2y y2z z2x 13则 的最小值为 1.x2y y2z z2xB 能力提升1在锐角三角形中，设 P ， Q ac
8、os C bcos B ccos A，则 P， Q 的关系a b c2为_解析：不妨设 A B C，则 a b c，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Q acos C bcos B ccos A acos B bcos C ccos A R(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A) Rsin(A B)sin( B C)sin( A C)4 R(sin Csin Asin B) P (R 为锐角三角形 ABC 外接圆的半径)a b c2答案： P Q2一般地，对于 n 个正数 a1， a2， an，几何平均数 Gn ，算术平均数na1a2anAn ，利用
9、排序不等式可以判断 Gn， An的大小关系为_a1 a2 ann解析：令 bi (i1，2， n)，aiGn则 b1b2bn1，故可取 x1 x2 xn0，使得 b1 ， b2 ， bn1 ， bn .x1x2 x2x3 xn 1xn xnx1由排序不等式有：b1 b2 bn x1 x2 xn n，x1x2 x2x3 xnx1 1x1 1x2 1xn当且仅当 x1 x2 xn时取等号，所以 n，即 Gn，a1Gn a2Gn anGn a1 a2 ann即 An Gn.答案： An Gn3设 x0，求证：1 x x2 x2n(2 n1) xn.证明：(1)当 x1 时，1 x x2 xn.由排序
10、原理知，11 xx x2x2 xnxn xn1 xn1 x1 xn，所以 1 x2 x4 x2n( n1) xn.又因为 x， x2， xn，1 为 1， x， x2， xn的一个排序，于是由排序原理得1x xx2 xn1 xn xn11xn xxn1 xn1 x xn1.所以 x x3 x2n1 nxn.，得 1 x x2 x2n(2 n1) xn.(2)当 0 x1 时，1 x x2 xn，同理可得结论综合(1)与(2)，5所以当 x0 时，1 x x2 x2n(2 n1) xn.4设 0 a b c 且 abc1.试求 的最小值1a3（ b c） 1b3（ a c） 1c3（ a b）解
11、：令 S ，1a3（ b c） 1b3（ a c） 1c3（ a b）则 S （ abc） 2a3（ b c） （ abc） 2b3（ a c） （ abc） 2c3（ a b） bc ac ab.bca（ b c） acb（ a c） abc（ a b）由已知可得： ， ab ac bc.1a（ b c） 1b（ a c） 1c（ a b）所以 S ac ab bcbca（ b c） acb（ a c） abc（ a b） .ca（ b c） ab（ a c） bc（ a b）又 S ab bc acbca（ b c） acb（ a c） abc（ a b） ，ba（ b c） cb（ a c） ac（ a b）、两式相加得：2 S 3 3.1a 1b 1c 31abc所以 S ，即 的最小值为 .32 1a3（ b c） 1b3（ a c） 1c3（ a b） 326
