1、1一 数学归纳法1.了解数学归纳法的原理 2.了解数学归纳法的使用范围 3.会用数学归纳法证明一些简单问题1数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 n n0时命题成立(2)假设当 n k(kN 且 k n0)时命题成立，证明当 n k1 时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当 n n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当 n k(kN ，且 k n0)时命题成立，推导
2、 n k1 时命题也成立(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 n n0的自然数都成立1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)归纳法的特点是由一般到特殊( )(2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n 一定取 1.( )(3)数学归纳法得出的结论都是正确的( )(4)数学归纳法中的两个步骤，第一步是归纳基础，第二步是归纳递推，两者缺一不可( )(5)数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论( )答案：(1) (2) (3) (4) (5)22在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( )A n1 成立 B n2 成立C n3 成立 D n4 成立答案：C3用数学归纳法证明等式
3、123( n3) ，当 n1 时，（ n 3） （ n 4）2左边应为_解析：因为当 n1 时， n34.所以左边应为 1234.答案：1234用数学归纳法证明恒等式 学生用书 P54用数学归纳法证明1 (n1， nN )12 13 14 12n 1 12n 1n 1 1n 2 12n【证明】 (1)当 n1 时，左边1 ，右边 ，12 12 12命题成立(2)假设当 n k(k1， kN )时等式成立，即 1 12 13 14 12k 1 12k .1k 1 1k 2 12k当 n k1 时，左边1 12 13 14 12k 1 12k 12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 12k 1
4、2k 1 12k 2 ，1k 2 1k 3 12k 1 12k 2即当 n k1 时等式也成立由(1)和(2)知，等式对一切 n1， nN 均成立3利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达 n n0时命题的形式，二是要准确把握由 n k 到 n k1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明n k1 成立时，必须使用归纳假设 1.用数学归纳法证明： nN 时， 113 135 .1（ 2n 1） （ 2n 1） n2n 1证明：当 n1 时，左边 ，右边 ，左边右边，所以等式成113 121 1 13立假设 n k(k1， kN )时，等式
5、成立，即有 113 135 ，则当 n k1 时，1（ 2k 1） （ 2k 1） k2k 1 113 135 1（ 2k 1） （ 2k 1） 1（ 2k 1） （ 2k 3） k2k 1 1（ 2k 1） （ 2k 3） k（ 2k 3） 1（ 2k 1） （ 2k 3） 2k2 3k 1（ 2k 1） （ 2k 3） k 12k 3 .所以 n k1 时，等式也成立k 12（ k 1） 1由可知，对一切 nN 等式都成立2已知数列 an满足 a11， an3 n1 an1 (n2， nN )(1)求 a2， a3；(2)求证： an .3n 12解：(1)由 a11，得 a2314， a
6、33 2413.(2)证明：用数学归纳法证明：当 n1 时， a11 ，所以等式成立31 12假设 n k(kN ， k1)时等式成立，即 ak ，那么当 n k1 时，3k 12ak1 ak3 k 3 k .3k 12 3k 1 23k2 3k 1 124即 n k1 时，等式也成立由知等式对 nN 都成立用数学归纳法证明整除问题学生用书 P55用数学归纳法证明( x1) n1 ( x2) 2n1 (nN )能被 x23 x3 整除【证明】 当 n1 时，(x1) 11 ( x2) 211 x23 x3 能被 x23 x3 整除，命题成立假设当 n k(k1， kN )时，( x1) k1
7、( x2) 2k1 能被 x23 x3 整除，那么(x1) (k1)1 ( x2) 2(k1)1( x1)( x1) k1 ( x2) 2(x2) 2k1( x1)( x1) k1 ( x1)( x2) 2k1 ( x1)( x2) 2k1 ( x2) 2(x2) 2k1( x1)( x1) k1 ( x2) 2k1 ( x23 x3)( x2) 2k1 .因为( x1) k1 ( x2) 2k1 和 x23 x3 都能被 x23 x3 整除，所以上面的式子也能被 x23 x3 整除这就是说，当 n k1 时，(x1) (k1)1 ( x2) 2(k1)1 也能被 x23 x3 整除根据可知，
8、命题对任何 nN 都成立用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证(2)与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从 n k1 时的表达式中分解出 n k 时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式 用数学归纳法证明对于整数 n0， An11 n2 12 2n1 能被 133 整除证明：(1)当 n0 时， A011 212133 能被 133 整除当 n1 时， A111 312 313323，能被 133 整除(2)假设 n k(k1， kN )
9、时， Ak11 k2 12 2k1 能被 133 整除当 n k1 时， Ak1 11 k3 12 2k3 1111 k2 12 2122k151111 k2 1112 2k1 (12 211)12 2k111(11 k2 12 2k1 )13312 2k1 .所以 n k1 时，命题也成立根据(1)(2)，对于任意整数 n0，命题都成立用数学归纳法证明几何命题学生用书 P55平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) n2 n2 部分【证明】 当 n1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1)1122，因此，n1 时命
10、题成立假设 n k(k1， kN )时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k) k2 k2 部分如果增加一个满足条件的任一个圆，则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k1) f(k)2 k k2 k22 k( k1) 2( k1)2，即当 n k1 时， f(n) n2 n2 也成立根据可知 n 个圆把平面分成了 f(n) n2 n2 部分利用数学归纳法证明几何问题的技巧(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由
11、特殊n1，2，3，猜出一般结论(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚 n k 与 n k1 时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起 f(k)与 f(k1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将 n k1 和 n k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明平面上有 n(n2 ，且 nN )条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点求证：这 n 条直线共有 f(n) 个交点n（ n 1）26证明：当 n2 时，两直线只有 1 个交
12、点，又 f(2) 2(21)1.12所以当 n2 时，命题成立假设当 n k(k2 且 kN )时命题成立，就是该平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数为 f(k) k(k1)，则当 n k1 时，任取其中一条直线记为 l，由归纳假设知，12剩下的 k 条直线 l1， l2， lk的交点个数为 f(k) .k（ k 1）2由于 l 与这 k 条直线均相交且任意三条不过同一点，所以直线 l 与l1， l2， l3， lk的交点共有 k 个所以 f(k1) f(k) k kk（ k 1）2 k2 k2 .k（ k 1）2 （ k 1） （ k 1） 12所以当 n k1 时，命题成立由可知，命
13、题对一切 nN 且 n2 均成立1数学归纳法的适用范围数学归纳法可以证明与正整数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数 n的命题都可以用数学归纳法证明2数学归纳法中两步的作用在数学归纳法中第一步“验证 n n0时命题成立”是奠基，是推理证明的基础，第二步是假设与递推，保证了推理的延续性3运用数学归纳法的关键运用归纳假设是关键，在使用归纳假设时，应分析 p(k)与 p(k1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从 p(k1)中分离出 p(k)再进行局部调整1求证：1 (nN )11 2 11 2 3 11 2 3 n 2nn 17证明：(1)当 n1 时，左边1
14、，右边 1，211 1所以左边右边，等式成立(2)假设当 n k(k1， kN )时等式成立，即 1 .11 2 11 2 3 11 2 3 k 2kk 1当 n k1 时，1 11 2 11 2 3 11 2 3 k 11 2 3 k （ k 1） 2k1 k 11 2 3 k （ k 1） 2kk 1 2（ k 1） （ k 2）2（ k 1） 2（ k 1） （ k 2） .2（ k 1）（ k 1） 1这就是说，当 n k1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对任何 nN ，等式都成立2求证： Sn n3( n1) 3( n2) 3(nN )能被 9 整除证明：(1)当 n1 时， S1182749，能被 9 整除(2)假设当 n k(k1， nN )时， Sn能被 9 整除，即 Sk k3( k1) 3( k2) 3能被 9 整除当 n k1 时，Sk1 ( k1) 3( k2) 3( k3) 3 k3( k1) 3( k2) 39 k227 k27 Sk9( k23 k3)因为 Sk能被 9 整除，9( k23 k3)能被 9 整除，所以 Sk1 能被 9 整除即当 n k1 时， Sn能被 9 整除由(1)(2)知，对 nN ， Sn能被 9 整除 故由(1)和(2)得，对 n2， nN ，等式恒成立8
