1、11-2-2-2 组合的综合应用1某地招募了 20名志愿者，他们编号分别为 1号，2 号，19 号，20 号，如果要从中任意选取 4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保 5号与 14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A16 B21 C24 D90解析 分 2类：第 1类，5 号与 14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 6 种选取方法第 2类，5 号与 14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有 C 1524 26种选取方法由分类加法计数原理得，共有 C C 61521(种)选取方法24 26答案 B2把 5名
2、同学分到甲、乙、丙 3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有( )A80 种 B120 种 C140 种 D50 种解析 当甲组中有 3人，乙、丙组中各有 1人时，有 C C 20(种)不同的分配方案；3512当甲组中有 2人，乙组中也有 2人，丙组中只有 1人时，有 C C 30(种)不同的分配方案；2523当甲组中有 2人，乙组中有 1人，丙组中有 2人时，有 C C 30(种)不同的分配方案；由2513分类加法计数原理共有 C C C C C C 80(种)不同的分配方案3512 2523 2513答案 A3若从 1,2,3，9 这 9个整数中同时取 4个不同的数
3、，其和为偶数，则不同的取法共有( )A60 种 B63 种 C65 种 D66 种解析 从 1,2,3，9 这 9个数中取出 4个不同的数，其和为偶数的情况包括：取出的 4个数都是偶数，取法有 C 1(种)；取出的 4个数中有 2个偶数、2 个奇数，取法4有 C C 60(种)；取出的 4个数都是奇数，取法有 C 5(种)根据分类加法计数原理，2425 45满足题意的取法共有 160566(种)答案 D4在 8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余 5张无奖将这 8张奖券分配给 4个人，每人 2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)解析 把 8张奖券分 4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)
4、、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4人有 A 种分法；另一种是一组两个奖，一组4只有一个奖，另两组无奖，共有 C 种分法，再分给 4人有 C A 种分法，所以不同获奖情23 2324况种数为 A C A 243660(种)4 23242答案 60课内拓展 课外探究1几何组合应用问题(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理如平面上不共线的 m个点构成多少个三角形，即在 m个元素中取出 3个元素的组合数(除去共线的情况)就是三角形的个数空间由不共面的 n
5、个点构成多少个四面体，即与在n个元素中取出 4个元素的组合数(除去共面的情况)相等，如求组成多少对异面直线问题，也可以构造四面体模型加以处理此外，解决几何问题，必须注意几何问题本身的限制条件如共线、共面、交点等要注意分清“对应关系” ，如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等等，解题时可借助图形来帮助思考，并善于将几何性质用于解题之中(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象
6、成组合问题来解决利用组合知识解决与几何有关的问题，要注意：将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法；要使用分类方法，至于怎样确定分类的标准，这是一个难点，要具体问题具体分析；常用间接法解决该类问题如果一个凸多面体是 n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条这些直线中共有 f(n)对异面直线，则 f(4)_， f(n)_(答案用数字或 n的解析式表示)解析 n棱锥共 n1 个顶点，依两点确定一条直线，有 C 条直线2n 1n n 12f(4)表示四棱锥中的异面直线的对数，如图，每条侧棱和底面上不共顶点的两条底边、3一条对角线共形成 3对异面直线，即 f(4)4312 对；
7、同理，一条侧棱与底面上 n2 条底边异面，又与 C ( n1)1 条底面对角线异2n 1面，即与这条侧棱异面的直线有 C ( n1)1( n2)C 2n 1 2n 1条，故 n条侧棱形成的异面直线的对数 f(n) . n 1 n 22 n n 1 n 22答案 12 n n 12 n n 1 n 22点评 这里是用组合知识来解答立体几何中的问题，其中由简单到复杂，由特例到一般的推理方法及用特例来检验一般的方法都要注意掌握在 MON的边 OM上有 5个异于点 O的点，在边 ON上有 4个异于点 O的点，以这 10个点(含 O)为顶点，可以得到多少个三角形？解 解法一：(直接法)分几种情况考虑：
8、O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在 OM、 ON上，所以有 C C 个， O不为顶点的三角形中，两个顶点在 OM上，一个顶15 14点在 ON上的有 C C 个，一个顶点在 OM上，两个顶点在 ON上的有 C C 个因为这是分2514 15 24类问题，所以用分类计数原理，共有C C C C C C 541045690(个)15 14 25 14 15 24解法二：(间接法)先不考虑共线点的问题，从 10个不同元素中任取三个的组合数是 C，但其中 OM上的 6个点(含 O)中任取三点不能得到三角形， ON上的 5个点(含 O)中任取3103点也不能得到三角形，所以共可以得到 C C C
9、 个三角形，即 C C C 310 36 35 310 36 35 120201090(个)1098123 654123 543123点评 解答几何组合应用问题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形中隐含的条件视为有限制条件的组合应用题即可计算时可用直接法，也可用间接法要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数2构造组合模型排列、组合应用题的背景丰富、千奇百怪、情景陌生、无特定的模式和规律可循，因此必须认真审题，把握问题的本质特征，化归为排列、组合的常规模型进而求解某城市一条道路上有 12盏路灯，为了节约用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端路灯不能熄灭
10、，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有( )AC 种 BA 种 CC 种 DA 种38 38 39 39解析 “亮灯” “灭灯”元素之间互异，可视为互异的元素，不考虑顺序，属于组合4问题“灭灯”不相邻，应采取“插空法” 分两步完成：第一步，安排 9盏亮灯，因为亮灯相同，只是位置不同，共有 C 种；9第二步，将 3盏熄灭的灯插到 8个空里，有 C 种；38根据分步乘法计数原理，共有 C C C 种熄灯方法故选择 A.9 38 38答案 A点评 本题通过构造组合模型，利用“插空法” ，使问题顺利地解决设集合 A1,2,3,4,5,6,7，映射 f： A A满足 f(1)f(2)f(3)f(4)，则这样的映射 f的个数为( )AC A BC C7 7 DC 73473 47 47解析 先从集合 A中任取 4个不同的元素作为一个组合，并按从小到大的顺序赋为1,2,3,4在映射 f下的象，有 C 种方法，再依次为 5,6,7确定象，有 73种方法，故满足题47意的映射 f的个数为 C 73.故选 D.47答案 D
