1、1课时跟踪训练(四) 排列的综合应用(时间 45 分钟)题型对点练(时间 20 分钟)题组一 数字排列问题1用数字 1,2,3,4,6 可以组成无重复数字的五位偶数有( )A48 个 B64 个 C72 个 D90 个解析 有 A A 72 个无重复数字的五位偶数134答案 C2在 1,2,3,4,5 这五个数字组成的无重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的有_个解析 由于题中所给的五个数仅有两个偶数，所以要使三个数的和是偶数，只有一个偶数与两个奇数全排列分两步确定这三个数，先从两个偶数中选中一个偶数，有 2 种情况，再从三个奇数中选两个奇数，共有1,3，1,5，3,5三种情况所以选出的三个
2、数共有 236 种情况，所以共可以组成 6A 36 个满足条件的三位数3答案 363用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的四位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第 85 个数为多少？解 (1)解法一：(直接法)A A 300(个)15 35解法二：(间接法)A A 300(个)46 35(2)解法一：(直接法)因为 0 为特殊元素，故先考虑 0.若 0 在个位有 A 个；0 不在个35位时，从 2,4 中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有 A A A ，12 14 24故有 A
3、 A A A 156 个不同的四位偶数35 12 14 24解法二：(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有A A 个，其中第一位是 0 的有 A A 个13 35 12 24故适合题意的有 A A A A 156 个不同的四位偶数13 35 12 24(3)1 在首位的数的个数为 A 60.352 在首位且 0 在第二位的数的个数为 A 12.242 在首位且 1 在第二位的数的个数为 A 12.24以上四位数共有 84 个，故第 85 个数是 2301.题组二 排队问题4将 A， B， C， D， E， F 六个字母排成一排，且 A， B 均在 C 的同侧，则不同的
4、排法共有_种(用数字作答)2解析 按 C 的位置分类，在左 1，左 2，左 3，或者在右 1，右 2，右 3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以 2 即可当 C 在左边第 1 个位置时，有 A 种，当 C 在5左边第 2 个位置时有 A A 种，当 C 在左边第 3 和 4 个位置时，有 A A A A 种，24 3 23 3 2 3这三种情况的和为 240 种，乘以 2 得 480，则不同的排法共有 480 种答案 48056 个人排成一行，其中甲、乙 2 人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)解析 不相邻问题既可以利用插空法求解，也可以用排除法间接求解解法一：先把除甲、乙外的 4
5、 个人全排列，共有 A 种方法，再把甲、乙 2 人插入这 44人形成的 5 个空位中的 2 个，共有 A 种不同的方法故所有不同的排法共有25A A 2420480(种)4 25解法二：6 人排成一排，所有不同的排法有 A 720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同6的排法有 A A 240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有 720240480(种)52答案 4806五个人排成一排，甲、乙不相邻，且甲、丙也不相邻的不同排法的种数为_解析 五个人排成一排，其中甲、乙不相邻且甲、丙也不相邻的排法可分为两类：一类是甲、乙、丙互不相邻，此类方法有 A A 12 种方法(先把除甲、乙、丙外的两个2 3人
6、排好，有 A 种方法，再把甲、乙、丙插入其中，有 A 种方法，因此此类有 A A 122 3 2 3种方法)；另一类是乙、丙相邻但不与甲相邻，此类方法有 A A A 24 种方法(先把除23 2 2甲、乙、丙外的两人排好，有 A 种方法，再从这两人所形成的三个空位中任选 2 个，作为2甲和乙、丙的位置，此类有 A A A 24 种方法)综上所述，满足题意的方法种数为23 2 2122436.答案 36题组三 排列中的定序问题7甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( )A20 种
7、 B30 种 C40 种 D60 种解析 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这 4 天中选 2 天排，有 A 种24安排方法；甲排周二，乙、丙有 A 种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有23A 种安排方法由分类加法计数原理可知，共有 A A A 20 种不同的安排方法2 24 23 2答案 A8七个人排成一排，其中甲在乙前(不一定相邻)，乙在丙前，则共有_种不同的排法3解析 我们可以从整体角度出发，先不考虑甲、乙、丙三人的顺序，即七个人任意排，有 A 种不同的排法在这所有排法中，任取一种排法，让其余四个人站在原位置不动，7而甲、乙、丙三人任意交换位置，即这三个人进行全排列，
8、共有 A 种不同的排法，而在这3A 种排法中仅有一种站法符合题意，且这所有的站法都是七个人进行全排列的某一种，因3此我们把这七个人的全排列以除甲、乙、丙外的四个人的不同位置为分类标准进行分类，而每类中有 A 个排列，每类中有且仅有一个符合题意的排列，从而可求出所求的排列3数另外，还可用插空法来求解解法一：先不考虑甲、乙、丙的顺序，任意排列共有 A 种，因为在上述排列中，每六7种有且仅有一种恰好是符合甲、乙、丙按一定顺序排列，因此符合要求的共有A A 840 种排法7 3解法二：七个位置中，先将除甲、乙、丙外四人排列有 A 种，然后将甲、乙、丙按规47定顺序插入三个空中，因此共有 A 840 种
9、不同的排法47答案 8409用 1,2,3,4,5,6,7 组成没有重复数字的七位数，若 1,3,5,7 的顺序一定，则有_个七位数符合条件解析 若 1,3,5,7 的顺序不定，有 A 24 种排法，故 1,3,5,7 的顺序一定的排法数4只占总排法数的 ，故有 A 210 个七位数符合条件124 1247答案 210综合提升练(时间 25 分钟)一、选择题1一个长椅上共有 10 个座位，现有 4 人去坐，其中恰有 5 个连续空位的坐法共有( )A240 种 B600 种 C408 种 D480 种解析 将四个排成一排共有 A 种排法，产生 5 个空位，将五个空位和一个空位构成4的两个元素插入
10、共 A 种方法由分步乘法计数原理满足条件的共 A A 480 种坐法25 4 25答案 D2生产过程有 4 道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等 6 名工人中安排 4 人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排 1 人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排 1 人，则不同的安排方案共有( )A24 种 B36 种 C48 种 D72 种解析 分类完成：第 1 类，若甲在第一道工序，则丙必在第四道工序，其余两道工序无限制，有 A 种排法；第 2 类，若甲不在第一道工序(此时乙一定在第一道工序)，则第24四道工序有 2 种排法，其余两道工序有 A 种排法，有 2A 种排
11、法24 24由分类加法计数原理，共有 A 2A 36 种不同的安排方案24 244答案 B3某高中的 4 名高三学生计划在高考结束后到西藏、新疆、香港这 3 个地区去旅游，要求每个地区都要有学生去，每个学生只能去 1 个地区旅游，且学生甲不去香港，则不同的旅游安排方案有( )A36 种 B28 种 C24 种 D22 种解析 学生甲不去香港，则甲有 2 种安排方案，另外 3 种同学可以在 3 个地区进行全排列，即有 A 种安排方案，也可以将另 3 名同学分为两组，一组 2 名同学，一组 1 名同3学，然后在甲选过后剩余的地区进行排列，即有 A 种安排方案所以有 2(A A )24 种23 3
12、23不同的旅游安排方案，故选 C.答案 C二、填空题4航天员拟在太空授课，准备进行标号为 0,1,2,3,4,5 的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中 0 号实验不能放在第一项，最后一项实验的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为_解析 因为 0 号实验不能放在第一项，所以第一步是从 1,2,3,4,5 的五项实验中任选一个放在第一项，有 A 种不同的方法；第二步是从剩下的五项实验中任取三个放在第二、15三、四项，有 A 种不同的方法；第三步是从剩下的两项实验中，选出标号较大的放在第五35项，标号较小的放在第六项，只有 1 种方法根据分步乘法计数原理，知实验顺序的编排方
13、法种数为 A A 1300.15 35答案 3005由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是_解析 将 3,4 两个数全排列，有 A 种排法，当 1,2 不相邻且不与 5 相邻时有 A 种2 3方法，当 1,2 相邻且不与 5 相邻时有 A A 种方法，故满足题意的数的个数为2 23A (A A A )36.2 3 2 23答案 36三、解答题6由四个不同的数字 1,2,4， x 组成无重复数字的三位数(1)若 x5，其中能被 5 整除的共有多少个？(2)若 x9，其中能被 3 整除的共有多少个？(3)若 x0，其中的偶数共有多少个？(4)若所有这些
14、三位数的各位数字之和是 252，求 x.解 (1)5 必在个位，所以能被 5 整除的三位数共有 A 6 个23(2)因为各位数字之和能被 3 整除时，该数就能被 3 整除，所以这种三位数只能由 2,4,95或 1,2,9 排列组成，所以共有 2A 12 个3(3)偶数数字有 3 个，个位数必是一个偶数，同时 0 不能在百位，可分两类考虑：0 在个位的，有 A 6 个23个位是 2 或 4 的，有 A A A 8 个，所以这种偶数共有 6814 个12 12 12(4)显然 x0，因为 1,2,4， x 在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现 A A13次，所以这样的数字之和是(124 x)A
15、 A ，即(124 x)A A 252，所23 13 23 13 23以 7 x14，所以 x7.75 男 5 女共 10 名同学排成一行(1)女生都排在一起，有几种排法？(2)女生与男生相间，有几种排法？(3)任何两个男生都不相邻，有几种排法？(4)5 名男生不排在一起，有几种排法？(5)男生甲与男生乙中间必须排而且只能排 2 名女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？解 (1)将 5 名女生看作一人，就是 6 个元素的全排列，有 A 种排法又 5 名女生6内部有 A 种排法5所以共有 A A 86400 种排法6 5(2)男生自己排，女生也自己排，然后相间插入(此时有 2 种插法)，所
16、以女生与男生相间共有 2A A 28800 种排法5 5(3)女生先排，女生之间及首尾共有 6 个空任取其中 5 个安插男生即可，因而任何男生都不相邻共有 A A 86400 种排法5 56(4)直接分类较复杂，可用间接法即从 10 个人的排列总数中，减去 5 名男生排在一起的排法数，得 5 名男生不排在一起的排法数为 A A A 3542400.10 56(5)先安排 2 个女生排在男生甲、乙之间，有 A 种方法；又甲、乙之间还有 A 种排25 2法这样就有 A A 种排法然后把他们 4 人看成一个元素(相当于一个男生)，再从这一25 2元素及另 3 名男生中，任选 2 人排在首尾，有 A 种排法最后再将余下的 2 名“男生” 、243 名女生排在中间，有 A 种排法故总排法数为 A A A A 57600.5 2522456
