1、1课时跟踪训练(八) “杨辉三角”与二项式系数的性质(时间 45 分钟)题型对点练(时间 20 分钟)题组一 与杨辉三角有关的问题1杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第 5 行除去两端数字 1 以外，均能被 5 整除，则具有类似性质的行是( )A第 6 行 B第 7 行C第 8 行 D第 9 行解析 由题意，第 6 行为 1 6 15 20 15 6 1，第 7 行为 1 7 21 35 35 21 7 1，故第 7 行除去两端数字 1 以外，均能被 7 整除答案 B2如图数表满足：第 n 行首尾两数均为 n；图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第 2 个数是_解析 由图中数字规律可知，
2、第 n 行的第 2 个数是123( n1)11 .n n 12 n2 n 222答案 n2 n 223将“杨辉三角”中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图所示的 01 三角数表从上往下数，第 1 次全行数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行数都为 1 的是第 3 行，第 n 次全行数都为 1 的是第_行；第 61 行中的 1 的个数是_解析 写出 01 三角数表的前面几行，如图可以看出第 1 次全行数都为 1 的是第 1 行共 2 个 1，第 2 次全行数都为 1 的是第 3 行共 4 个 1，第 3 次全行数都为 1 的是第 7 行共 8 个 1，第 4 次全行数都为 1 的是第 15
3、 行共16 个 1，所以第 n 次全行数都为 1 的是第(2 n1)行共 2n个 1.故填 2n1.而且第(2 n2)行与第(2 n3)行中分别都有 2n1 个 1，所以当 n6 时，2n12 6163，第 63 行全是 1(第 6 次全行数都为 1)，第 61 行共有 261 2 532 个 1.故填 32.答案 2 n1 32题组二 求展开式的系数和4(2 x1) 10的展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为( )3A. B.1 3102 1 3102C. D310 12 1 3102解析 设(2 x1) 10 a0 a1x a2x2 a10x10，令 x1，得 1 a0 a1 a2 a10
4、，再令 x1，得310 a0 a1 a2 a3 a9 a10，两式相减可得， a1 a3 a9 ，故选 B.1 3102答案 B5设( x1) 21 a0 a1x a2x2 a21x21，则 a10 a11_.解析 利用二项式展开式的性质，可知第 11 项和第 12 项二项式系数最大，而项的系数互为相反数，即 a10 a110.答案 06设(2 x)100 a0 a1x a2x2 a100x100，求下列各式的值：3(1)a0；(2)a1 a2 a3 a4 a100；(3)a1 a3 a5 a99；(4)(a0 a2 a100)2( a1 a3 a99)2；(5)|a0| a1| a100|.
5、解 (1)令 x0，可得 a02 100.(2)令 x1，可得a0 a1 a2 a100(2 )100，(*)3所以 a1 a2 a100(2 )1002 100，3(3)令 x1.可得 a0 a1 a2 a3 a100(2 )100.3与(*)式联立相减得 a1 a3 a99 . 2 3 100 2 3 1002(4)原式( a0 a2 a100)( a1 a3 a99)(a0 a2 a100)( a1 a3 a99)( a0 a1 a2 a100)(a0 a1 a2 a3 a98 a99 a100)(2 )(2 )1001 1001.3 3(5) Tr1 (1) rC 2100 r( )r
6、xr，r100 3 a2r1 0(rN *)| a0| a1| a2| a100| a0 a1 a2 a3 a100(2 )100.3题组三 展开式中的最大值问题7(12 x)n的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项4为( )A第 5 项 B第 6 项或第 7 项C第 6 项 D第 7 项解析 T6C (2x)5， T7C (2x)6，依题意有 C 25C 26n8.5n 6n 5n 6n所以(12 x)8的展开式中，二项式系数最大的项为 T5C (2x)41120 x4.故选 A.48答案 A8. 10的展开式中，系数最大的项为( )(x1x)A第 6 项
7、B第 3 项C第 3 项和第 6 项 D第 5 项和第 7 项解析 展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等由于二项式系数的最大项为 T6，且 T6C x5 5C 中的二项式系数等于项的510 (1x) 510系数的相反数，此时 T6的系数最小而 T5C x6 4C x2，410 (1x) 410T7C x4 6C x2 ，且 C C .610 (1x) 610 410 610所以系数最大的项为第 5 项和第 7 项故选 D.答案 D9(1 x)13的展开式中系数最小的项为( )A第 6 项 B第 7 项C第 8 项 D第 9 项解析 展开式中共有 14 项，中间两项(第 7、8 项)
8、的二项式系数最大由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数所以系数最小的项为第 8 项，系数最大的项为第 7 项故选 C.答案 C综合提升练(时间 25 分钟)一、选择题1已知( a x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，若 a280，则 a0 a1 a2 a5( )A32 B1 C243 D1 或243解析 ( a x)5展开式的通项为 Tk1 (1) kC a5 kxk，令 k2，得 a2(1)k52C a380，解得 a2，即(2 x)5 a0 a1x a2x2 a5x5，令 x1，得25a0 a1 a2 a51.答案 B52已知(12 x)2n的展开式中
9、奇次项系数之和等于 364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A第 3 项 B第 4 项C第 5 项 D第 6 项解析 设(12 x)2n a0 a1x a2x2 a3x3 a2n1 x2n1 a2nx2n，则展开式中奇次项系数之和就是 a1 a3 a5 a2n1 .分别令 x1， x1，得Error!两式相减，得a1 a3 a5 a2n1 .由已知，得 364，3 2n7293 6，即32n 12 32n 12n3.(12 x)2n(12 x)6的展开式共有 7 项，中间一项的二项式系数最大，即第 4 项的二项式系数最大，选 B.答案 B3(1 ax by)n的展开式中不含 x 的项的系
10、数的绝对值的和为 243，不含 y 的项的系数的绝对值的和为 32，则 a， b， n 的值可能为( )A a2， b1， n5B a2， b1， n6C a1， b2， n6D a1， b2， n5解析 根据展开式的特点，通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和，通过方程组解决只要令 x0， y1，即得到(1 ax by)n的展开式中不含 x 的项的系数的和为(1 b)n，令 x1， y0，即得到(1 ax by)n的展开式中不含 y 的项的系数的和为(1 a)n.如果 a， b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果 a， b 中有负值，相应地，分别令 y1， x0； x1，
11、 y0.此时的和式分别为(1 b)n，(1 a)n，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1| b|)n，(1| a|)n.根据题意(1| b|)n2433 5，(1| a|)n322 5，因此 n5，| a|1，| b|2.故选 D.答案 D二、填空题4若( x)10 a0 a1x a2x2 a10x10，则( a0 a2 a10)2( a1 a3 a9)22_.解析 令 x1，得： a0 a1 a2 a10( 1) 10，2令 x1 得： a0 a1 a2 a3 a10( 1) 10，2故( a0 a2 a10)2( a1 a3 a9)2( a0 a1 a2 a10)(a0 a1 a2
12、 a3 a10)( 1) 10( 1) 101.2 2答案 15设 a0， n 是大于 1 的自然数， n的展开式为 a0 a1x a2x2 anxn.若点(1xa)6Ai(i， ai)，( i0,1,2)的位置如图所示，则 a_.解析 由题意知， A0(0,1)， A1(1,3)， A2(2,4)故 a01， a13， a24.由 n的展开式的通项公式知，(1xa)Tr1 C r(r0,1,2， n)rn(xa)故 3， 4，解得 a3.C1na C2na2答案 3三、解答题6在(2 x3 y)10的展开式中，求：(1)各项的二项式系数的和；(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的
13、和；(3)各项系数之和；(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和解 在(2 x3 y)10的展开式中：(1)各项的二项式系数的和为 C C C 2 101024.01 10 10(2)奇数项的二项式系数的和为 C C C 2 9512.01 210 10偶数项的二项式系数的和为 C C C 2 9512.10 310 910(3)设(2 x3 y)10 a0x10 a1x9y a2x8y2 a10y10(*)，各项系数之和即为a0 a1 a2 a10，由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求解令(*)中 x y1，得各项系数之和为(23) 10(1) 101.(4)奇数项系数的和为 a0 a2 a4
14、 a10，偶数项系数的和为 a1 a3 a5 a9.由(3)知 a0 a1 a2 a101.令(*)中 x1， y1，得 a0 a1 a2 a3 a105 10.，得 2(a0 a2 a10)15 10，故奇数项系数的和为 ；1 51027，得 2(a1 a3 a9)15 10，故偶数项系数的和为 .1 51027在(3 x2 y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项解 (1)二项式系数最大的项是第 11 项，T11C 310(2) 10x10y10C 610x10y10.102 102(2)设系数绝对值最大的项是 r1 项，于是Error!化简得Error!解得 7 r8 (rN)，25 25所以 r8，即 T9C 31228x12y8是系数绝对值最大的项820(3)由于系数为正的项为 y 的偶次方项，故可设第 2r1 项系数最大，于是Error!化简得Error!解得 r5，即 2519 项系数最大T9C 31228x12y8.820
