1、1综合质量检测(时间 120分钟 满分 150分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)16 个学校的师生轮流去某个电影院观看电影狼图腾 ，每个学校包一场，则不同的包场顺序的种数是( )A720 B480 C540 D120解析 因为是轮流放映，故不同的包场顺序的种数为 A 720.故选 A.6答案 A2已知离散型随机变量 X等可能取值 1,2,3， n，若 P(1 X3) ，则 n的值为15( )A3 B5 C10 D15解析 由已知 X的分布列为 P(X k) ， k1,2,3， n，所以 P(1 X3)1n P(X1)
2、 P(X2) P(X3) ， n15.3n 15答案 D3设随机变量 X服从二项分布 X B(n， p)，则 等于( ) D X 2 E X 2A p2 B(1 p)2 C1 p D以上都不对解析 因为 X B(n， p)，( D(X)2 np(1 p)2，( E(X)2( np)2，所以 (1 p)2.故选 B. D X 2 E X 2 np 1 p 2 np 2答案 B4如图的示， A， B， C表示 3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为( )A0.504 B0.994C0.496 D0.06解析 A、 B、 C三个开关相互独立，三个
3、中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知 P1(10.9)(10.8)(10.7)10.10.20.30.994.2答案 B5将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A“三个点数都不相同” ， B“至少出现一个 6点” ，则概率 P(A|B)等于( )A. B. C. D.6091 12 518 91216解析 P(B)1 P( )1 ， P(AB) ，B555666 91216 C1354666 60216 P(A|B) .P ABP B 6091答案 A6给出以下四个说法：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；在刻画回归模型的拟合效果时， R2的值越大，说明拟合的效果越好
4、；设随机变量 服从正态分布 N(4,22)，则 P( 4) ；12对分类变量 X与 Y，若它们的随机变量 K2的观测值 k越小，则判断“ X与 Y有关系”的犯错误的概率越小其中正确的说法是( )A B C D解析 中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故不正确；正确，相关指数 R2越大，拟合效果越好， R2越小，拟合效果越差；随机变量 服从正态分布 N(4,22)，正态曲线对称轴为 x4，所以 P( 4) ，故正确；对分类变量 X与 Y，若它们的12随机变量 K2的观测值 k越小，则说明“ X与 Y有关系”的犯错误的概率越大，故不正确答案 B7学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，
5、得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度 1 3 8 12 17饮料瓶数 3 40 52 72 122根据上表可得回归方程 x 中的 为 6，据此模型预测气温为 30时销售饮料瓶数y b a b 为( )A141 B191 C211 D241解析 由题意， 7.8，x 1 3 8 12 1753 57.8，y 3 40 52 72 1225因为回归方程 x 中的 为 6，所以 57.867.8 ，y b a b a 所以 11，所以 6 x11，所以 x30 时， 63011191，故选 B.a y y 答案 B8若(15 x)9 a0 a1x a2x2 a9x9，那么| a0| a1|
6、 a2| a9|的值是( )A1 B4 9 C5 9 D6 9解析 由(15 x)9与(15 x)9展开式系数可知|a0| a1| a2| a9|(151) 96 9.故选 D.答案 D9如图，用 4种不同颜色对图中 5个区域涂色(4 种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )A.72 B96 C108 D120解析 颜色都用上时，必定有两块同色，在图中，同色的可能是 1,3或 1,5或 2,5或 3,5.对每种情况涂色有 A 24 种，所以一共有 96种4答案 B10甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，日产量相等，每天出废品的情况如下表所
7、列：则有结论( )A甲的产品质量比乙的产品质量好一些B乙的产品质量比甲的产品质量好一些C两人的产品质量一样好4D无法判断谁的质量好一些解析 E(X 甲 )00.410.320.230.11， E(X 乙 )00.310.520.2300.9， E(X 甲 ) E(X 乙 )，故甲每天出废品的数量比乙要多，乙的产品质量比甲的产品质量好一些故选 B.答案 B11如图，三行三列的方阵中有 9个数 aij(i1,2,3； j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )A. B. C. D.37 47 114 1314解析 “至少有两个数位于同行或同列”的对立事件为“三个数既
8、不同行也不同列” ，所以所求概率为 P1 1 1 .C13C12C1C39 321987321 114 1314答案 D12定义“规范 01数列” an如下： an共有 2m项，其中 m项为 0， m项为 1，且对任意 k2 m， a1， a2， ak中 0的个数不少于 1的个数若 m4，则不同的“规范 01数列”共有( )A18 个 B16 个 C14 个 D12 个解析 由题意知：当 m4 时， “规范 01数列”共含有 8项，其中 4项为 0,4项为1，且必有 a10， a81.不考虑限制条件“对任意 k2 m， a1， a2， ak中 0的个数不少于 1的个数” ，则中间 6个数的情况
9、共有 C 20(种)，其中存在 k2 m， a1， a2， ak中360的个数少于 1的个数的情况有：若 a2 a31，则有 C 4(种)；若 a21， a30，14则 a41， a51，只有 1种；若 a20，则 a3 a4 a51，只有 1种综上，不同的“规范 01数列”共有 20614(种)故共有 14个故选 C.5答案 C二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分请把正确答案填在题中横线上)13设 6的展开式中 x3的系数为 A，二项式系数为 B，则 等于_(x 2x) AB解析 Tk1 C x6 k kC (2) kx ，令 6 3，即 k2，所以k6 ( 2x) k6
10、3k2T3C (2) 2x360 x3，所以 x3的系数为 A60，二项式系数为 BC 15，所以 4.26 26AB 6015答案 414如果把个位数是 1，且恰有 3个数字相同的四位数叫做“好数” ，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中， “好数”共有_个解析 由题意知，当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个 4共有 4种情况当有三个 1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，共 9种当有三个 2,3,4时，2221,3331,4441，此时有 3种情况由分类加法计数原理，得“好数”的个数为 9312.答案
11、 1215某射手射击 1次，击中目标的概率是 0.9，他连续射击 4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：他第 3次击中目标的概率是 0.9；他恰好击中目标 3次的概率是 0.930.1；他至少击中目标 1次的概率是 10.1 4.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析 因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第 3次击中目标的概率是 0.9，正确；恰好击中目标 3次的概率应为 C 0.930.1；344 次射击都未击中的概率为 0.14；所以至少击中目标 1次的概率为 10.1 4.答案 16同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这
12、次试验成功，则在 2次试验中成功次数 X的均值是_解析 解法一：由题意可知每次试验不成功的概率为 ，成功的概率为 ，在 2次试14 34验中成功次数 X的可能取值为 0,1,2，则 P(X0) ， P(X1)C ， P(X2)116 12 14 34 38 2 .(34) 9166所以在 2次试验中成功次数 X的分布列为X 0 1 2P 116 38 916则在 2次试验中成功次数 X的均值为 E(X)0 1 2 .116 38 916 32解法二：此试验满足二项分布，其中 p ，所以在 2次试验中成功次数 X的均值为34E(X) np2 .34 32答案 32三、解答题(本大题共 6小题，共
13、 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)为了调查某生产线上质量监督员甲是否在现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，1000 件产品中合格品有 990件，次品有 10件，甲不在现场时，500 件产品中有合格品 490件，次品有 10件(1)补充下面列联表，并初步判断甲在不在现场与产品质量是否有关：合格品数/件 次品数/件 总数/件甲在现场 990甲不在现场 10总数/件(2)用独立性检验的方法判断能否在犯错误的概率不超过 0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”？K2n ad bc 2 a b c d a c b d解 (1)合格品
14、数/件 次品数/件 总数/件甲在现场 990 10 1000甲不在现场 490 10 500总数/件 1480 20 1500由列联表可知| ad bc|9901049010|5000，相差较大，可在某种程度上认为“甲在不在现场与产品质量有关” (2)由(1)中 22列联表中数据，得K21500 99010 49010 2148020100050072.532.072，又 P(k2.072)的临界值为 0.15，所以，能在犯错误的概率不超过 0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”18(12 分)已知( a21) n展开式中的各项系数之和等于 5的展开式的常数项，(165x2 1x)
15、而( a21) n的展开式的系数最大的项等于 54，求 a的值解 5的展开式的通项为(165x2 1x)Tr1 C 5 r rr5(165x2) (1x)令 205 r0，得 r4，故常数项 T5C 16.45165又( a21) n展开式的各项系数之和等于 2n，由题意知 2n16，得 n4.由二项式系数的性质知，( a21) n展开式中系数最大的项是中间项 T3，故有 C a454，解得 a .24 319(12 分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T， T只与道路畅通状况有关，对其容量为 100的样本进行统计，结果如下：T(分钟) 25 30 35 40频数(次) 20 30 4
16、0 10(1)求 T的分布列与数学期望 E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个 50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率解 (1)由统计结果可得 T的频率分布为：T(分钟) 25 30 35 40频数 0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得 T的分布列为：T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而 E(T)250.2300.3350.4400.132(分钟)8(2)设 T1， T2分别表示往返所需时间， T1， T2的取值相互独立，且与 T的分布列相同设事件 A表示“刘教授共用时间不超
17、过 120分钟” ，由于讲座的时间为 50分钟，所以事件 A对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70分钟” 解法一： P(A) P(T1 T270) P(T125， T245) P(T130， T240) P(T135， T235) P(T140， T230)0.210.310.40.90.10.50.91.解法二： P( ) P(T1 T270) P(T135， T240) P(T140， T235)A P(T140， T240)0.40.10.10.40.10.10.09.故 P(A)1 P( )0.91.A20(12 分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到
18、气象局与某医院抄录了 1至 6月份每月 10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取 2组，用剩下的 4组数据求线性回归方程，再用被选取的 2组数据进行检验(1)求选取的 2组数据恰好是相邻两个月数据的概率；(2)若选取的是 1月与 6月的两组数据，请根据 2至 5月份的数据求出 y关于 x的线性回归方程 y x ；b a (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式： ， .b ni 1 xi x yi yni 1 xi
19、x 2 a y b x解 (1)设抽到相邻两个月的数据为事件 A.从 6组数据中选取 2组数据，共有 15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽9到相邻两个月的数据的情况有 5种所以 P(A) .515 13(2)由数据求得 11， 24，x y由公式求得 ， ，所以 y关于 x的线性回归方程为 x .b 187 a y b x 307 y 187 307(3)当 x10 时， ， 2；y 1507 |1507 22|当 x6 时， ， 2，y 787 |787 12|所以该小组所得线性回归方程是理想的21(12 分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势某机构为了解某城
20、市市民的年龄构成，按 1%的比例从年龄在 2080 岁(含 20岁和 80岁)之间的市民中随机抽取 600人进行调查，并将年龄按20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80进行分组，绘制成频率分布直方图，如图所示规定年龄在20,40)岁的人为“青年人” ，40,60)岁的人为“中年人” ，60,80岁的人为“老年人” (1)根据频率分布直方图估计该城市 60岁以上(含 60岁)的人数，若每一组中的数据用该组区间的中点值来代表，试估算所调查的 600人的平均年龄；(2)将上述人口分布的频率视为该城市年龄在 2080 岁的人口分布的概率，从该城市年龄在 2080
21、 岁的市民中随机抽取 3人，记抽到“老年人”的人数为 X，求随机变量 X的分布列和数学期望解 (1)由频率分布直方图可知 60岁以上(含 60岁)的频率为(0.010.01)100.2，故样本中 60岁以上(含 60岁)的人数为 6000.2120，故该城市 60岁以上(含 60岁)的人数为 1201%12000.所调查的 600人的平均年龄为250.1350.2450.3550.2650.1750.148(岁)(2)由频率分布直方图知， “老年人”所占的频率为 ，1510所以从该城市年龄在 2080 岁的市民中随机抽取 1人，抽到“老年人”的概率为 ，15分析可知 X的所有可能取值为 0,1
22、,2,3，P(X0)C 0 3 ，03(15)(45) 64125P(X1)C 1 2 ，13(15)(45) 48125P(X2)C 2 1 ，23(15)(45) 12125P(X3)C 3 0 .3(15)(45) 1125所以 X的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125E(X)0 1 2 3 .64125 48125 12125 1125 35(或 E X 315 35)22(12 分)某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了 50份，暴雨前的投票也收集了 50份，所得
23、统计结果如下表：支持 不支持 总计北京暴雨后 x y 50北京暴雨前 20 30 50总计 A B 100已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为 .25(1)求列联表中的数据 x， y， A， B的值(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？11(3)能否在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？附： K2n nd bc 2 a b c d a c b dP(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0
24、 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828解 (1)由已知可得 ， B40B100 25又 A B100， A60而 x20 A， y30 B， x40， y10故 x40， y10， A60， B40.(2)由(1)知北京暴雨后支持率为 ，4050 45不支持率为 1 ，45 15北京暴雨前支持率为 ，2050 25不支持率为 1 .25 35条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度12(3)K2 16.6710.828.100 3040 2010 250504060所以在犯错误的概率不超过 0.001的前提下认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关
