1、- 1 -江苏省田家炳实验中学 2017-2018学年高二数学下学期第二次学情调研考试试题 理一、 填空题（本大题共 14小题，共 70.0分）1、一组数据 2， x，4，6，10 的平均值是 5，则此组数据的标准差是_ 2、如图，茎叶图记录了甲、乙两组各 3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为_ 3、将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是_ 用数字作答4、200 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于的汽车数量为_辆5、已知 ，则 _6、在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等 5人报名参加了 A， B
2、， C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1名志愿者，且甲不能参加 A， B项目，乙不能参加 B， C项目，那么共有_种不同的志愿者分配方案 用数字作答7、 的展开式中， 的系数为_ 用数字作答- 2 -8、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 A为出现奇数，事件 B为出现 2点，已知， ，则出现奇数点或 2点的概率是_ 9、长方形 ABCD中， ， ， O为 AB的中点，在长方形 ABCD内随机取一点，取到的点到 O的距离大于 1的概率为_ 10、口袋中装有大小质地都相同、编号为 1，2，3，4，5，6 的球各一只 现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为 X，则
3、随机变量 X的数学期望是_ 11、设随机变量 X的分布列如下：X 0 5 10 20P若数学期望 ，则方差 _ 12、 已知 0， ， ，若随机选取 m， n，则直线 恰好不经过第二象限的概率是_13、若 ， ，则 _ 14、甲罐中有 5个红球，2 个白球和 3个黑球，乙罐中有 4个红球，3 个白球和 3个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_ 写出所有正确结论的编号 ；事件 B与事件 相互独立；- 3 -， ， 是两两互斥的事件；的值不能确定，因为它
4、与 ， ， 中哪一个发生有关二、 解答题（本大题共 6小题，共 72.0分）15、4 男 3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？任何两名女生都不相邻，有多少种排法？男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？男甲在男乙的左边 不一定相邻 有多少种不同的排法？16、一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9个，从中任取 2个球，记随机变量 X为取出 2球中白球的个数，已知 求袋中白球的个数； 求随机变量 X的分布列及其数学期望17、已知 展开式前三项的二项式系数和为 22 求 n的值； 求展开式中的常数项；求展开式中二项式系数最大的项- 4 -18、已知空
5、间三点 0， ， 1， ， 0， ，设 ， 求 和 的夹角 的余弦值； 若向量 与 互相垂直，求实数 k的值； 若向量 与 共线，求实数 的值- 5 -19、如图，已知矩形 ABCD所在平面外一点 P， 平面ABCD， E、 F分别是 AB、 PC的中点求证： 共面；求证： - 6 -20、某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 ，乙的命中率为 ，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若 ，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在 2011年每月进行 1次检测，设这 12次检测中该小组获得
6、“先进和谐组”的次数 ，如果 ，求 的取值范围- 7 -答案和解析【答案】1. ： 2. 3. 36 4. 76 5. 1或 3 6. 21 7. 8. 9. 10. 11. 35 12. 13. 3 14. 15. 解： 任何两名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有 种不同排法甲在首位的共有 种，乙在末位的共有 种，甲在首位且乙在末位的有 种，因此共有种排法人的所有排列方法有 种，其中甲、乙、丙的排序有 种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有 种 男甲在男乙的左边的 7人排列与男甲在男乙的右边的 7人排列数相等，而 7人排列数恰好是这二者
7、之和，因此满足条件的有 种排法 16. 解： 设袋中有白球 n个，则 ，解得 由 可知：袋中共有 3个黑球，6 个白球随机变量 X的取值为 0，1，2，则 ， ， 随机变量 X的分布列如下： X 0 1 2P - 8 -17. 解：由题意， 展开式前三项的二项式系数和为 22 二项式定理展开：前三项系数为： ，解得： 或 舍去 即 n的值为 6 由通项公式 ，令 ，可得： 展开式中的常数项为 ；是偶数，展开式共有 7项 则第四项最大展开式中二项式系数最大的项为 18. 解： ， ，和 的夹角 的余弦值为 ， 向量 与 互相垂直，或 ， 向量 与 共线， 存在实数 ，使得 即 1， ，或 - 9
8、 -19. 证明： 如图，以 A为原点， AB为 x轴， AD为 y轴， AP为 z轴，建立空间直角坐标系 ，设 ， ， ，则： 0， ， 0， ， 2b， ，2b， ， 0， ，为 AB的中点， F为 PC的中点，0， ， b， ，b， ， 0， ， 2b， ，共面0， ， b， ，0， ， b， ， 20. 解： ， ，根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率而 ，所以 由 知， 解得： 【解析】1. 解： 一组数据 2， x，4，6，10 的
9、平均值是 5，- 10 -解得 ，此组数据的方差 ，此组数据的标准差 故答案为： 由已知条件先求出 x的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法2. 解：由已知可得甲的平均成绩为 ，方差为；乙的平均成绩为 ，方差为 ，所以方差较小的那组同学成绩的方差为 故答案为： 由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小本题考查了茎叶图的数据统计中，求平均数以及方差，关键是熟记公式3. 解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位
10、置全排列，共有 种结果，故答案为：36本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏4. 解：时速不低于 的汽车的频率为 时速不低于 的汽车数量为 故答案为：76先根据“频率 组距”求出时速不低于 的汽车的频率，然后根据“频数 频率- 11 -样本容量”进行求解本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数 频率样本容量，属于基础题5. 解：因为 ，可得 或解得 或 故答案为 1或 3由组合数的性质和方程
11、，可得 或 ，求解即可本题考查组合及组合数公式，考查计算能力，是基础题6. 解：若甲，乙都参加，则甲只能参加 C项目，乙只能参见 A项目， B项目有 3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加 C项目， A， B项目，有 种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加 A项目， B， C项目，有 种方法，若甲不参加，乙不参加，有 种方法，根据分类计数原理，共有 种由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题7. 解： 的展开式的通项为 ，令 ，求得 ，的系数为 故答案为： 在二项展开式的通项公式中，令 x的幂指数等于 ，求出 r的值，即可求得开式中 x的系数
12、本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题8. 解：由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现 2点是互斥事件， ，出现奇数点或 2点的概率根据互斥事件的概率公式得到 ，- 12 -故答案为： 由题意知抛掷一粒骰子出现奇数和出现 2点是互斥事件，又根据两个事件的概率，根据互斥事件的概率之和得到出现奇数点或 2点的概率本题考查互斥事件的概率，解题的关键是看清两个事件的互斥关系，再根据互斥事件的概率公式得到结果，是一个基础题9. 解：根据几何概型得：取到的点到 O的距离大于 1的概率：故答案为： 本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积 欲求取到的点到 O的
13、距离大于 1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可本题主要考查几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型10. 解：由题设知 X的可能取值为 1，2，3，4，5随机地取出两个球，共有： 种， ， ， ， ，随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 5P故 E 故答案为： 确定 X的可能取值为 1，2，3，4，5，求出相应的概率，可求随机变量 X的数学期望本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，确定 X的可能取值，求出相应的概率是关键- 13 -11. 解： ，化为 又 ，联立 ，解得故答案为 利用 ，
14、分布列的性质 ，联立即可解得 ，再利用方差的计算公式即可得出 本题考查了离散型随机变量的分布列的数学期望及其方差，属于基础题12. 解：由 得 ，要使直线 恰好不经过第二象限，则 或者 ，即 或 ， 或 ， 共有 2个结果0， ， ， n的选择共有 个结果，则根据古典概率的概率公式得所求的概率 ，故答案为：根据古典概型的概率公式求出相应事件的个数，即可得到结论本题主要考查古典概型的概率的计算，根据直线不经过第二象限，分别求出对应斜率和截距的关系是解决本题的关键，比较基础13. 解： 0， ， 1， 本题直接根据空间向量的坐标运算 即对应坐标想加减 和模的公式 即坐标的平方和的算术平- 14 -
15、方根 进行计算即可本题主要考查了空间向量的概念及基本运算，属于基础题14. 解：易见 ， ， 是两两互斥的事件，故答案为：本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键 本题在 ， 是两两互斥的事件，把事件 B的概率进行转化 ，可知事件 B的概率是确定的概率的综合问题，需要对基本概念和基本运算能够熟练掌握15. 任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决，男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决，男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，故利用除法可得结论本题考查排列、组合知识的运用，考查学生分析解
16、决问题的能力，正确选用方法是关键16. 设袋中有白球 n个，利用古典概型的概率计算公式即可得到 ，解出即可；由 可知：袋中共有 3个黑球，6 个白球 随机变量 X的取值为 0，1，2，3，求出相应的概率，即可得出随机变量 X的分布列及其数学期望熟练掌握古典概型的概率计算公式和超几何分布的概率计算公式是解题的关键17. 利用公式展开得前三项，系数和为 22，即可求出 n 利用通项公式求解展开式中的常数项即可利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题- 15 -18. 利用向量夹角公式即可得出； 利用向量垂直于数量积的关系即可得出；利用向量共线
17、定理即可得出19. 以 A为原点， AB为 x轴， AD为 y轴， AP为 z轴，建立空间直角坐标系 ，设， ， ，求出 b， ， 0， ， 2b， ，从而，由此能证明 共面求出 0， ， b， ，由 ，能证明 本题考查三个向量共面的证明，考查两直线垂直的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20. 根据甲的命中率为 ，乙的命中率为 ，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合 的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 含参数 ，由 ，可以构造一个关于 的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到 的取值范围本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与 n次独立重复试验的模型，中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性， 的关键是要根据 ，可以构造一个关于 的不等式- 16 -
