1、高考大题专项六 高考中的概率与统计,-2-,一、考查范围全面 概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法,统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、均值与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法.,-3-,二、考查方向分散 从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常
2、与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是均值与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的均值和方差相结合综合考查. 三、考查难度稳定 高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.,-4-,题型一,题型二,题型三,题型四,相关关系的判断及回归分析 例1(2018黑龙江模拟,19)班主任为了对本班学生
3、的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析. (1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果) (2)如果随机抽取的7名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:,-5-,题型一,题型二,题型三,题型四,若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和均值; 根据上表数据,求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分? 附:线性回归方程y=bx+a
4、,-6-,题型一,题型二,题型三,题型四,-7-,题型一,题型二,题型三,题型四,-8-,题型一,题型二,题型三,题型四,解题心得在求两变量相关系数和两变量的回归方程时,由于r和b的公式组成比较复杂,求它们的值计算量比较大,为了计算准确,可将其分成几个部分分别计算,这样等同于分散难点,各个攻破,提高了计算的准确度.,-9-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练1(2018全国2,理18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.,-10-,题型一,题型二,题型三,题型四,为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型
5、.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,17)建立模型:y=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,7)建立模型:y=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.,-11-,题型一,题型二,题型三,题型四,解 (1)利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.519=226.1(亿元). 利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y=99+17.59=256.5(亿元).
6、,-12-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,
7、因此利用模型得到的预测值更可靠. (ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠. (以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可得分),-13-,题型一,题型二,题型三,题型四,独立性检验的综合问题 例2(2017广东、江西、福建十校联考改编)某校卫生所成立了调查小组,调查“按时刷牙与不患龋齿的关系”,对该校某年级800名学生进行检查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:按时刷牙且不患龋齿的学生有160名,不按时刷牙但不患龋齿的学生有100名,
8、按时刷牙但患龋齿的学生有240名. (1)该校4名校卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组,每组2人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理,求工作人员甲、乙分到同一组的概率. (2)是否有99%的把握认为该年级学生按时刷牙与不患龋齿有关系?,-14-,题型一,题型二,题型三,题型四,-15-,题型一,题型二,题型三,题型四,-16-,题型一,题型二,题型三,题型四,解题心得有关独立性检验的问题的解题步骤:(1)作出22列联表;(2)计算随机变量2的值;(3)查临界值,检验作答.,-17-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练2(2018广东佛山一模,18)有甲、乙两家公司都愿意聘用某求
9、职者,这两家公司的具体聘用信息如下: 甲公司,-18-,题型一,题型二,题型三,题型四,乙公司(1)根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司?说明理由; (2)某课外实习作业小组调查了1 000名职场人士,就选择这两家公司的意愿作了统计,得到如下数据分布:,-19-,题型一,题型二,题型三,题型四,若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的2的值为k1=5.551 3,得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少?并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大?,-20-,题型一,题型二,题型三,题型四,解 (1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变
10、量X,Y, 则EX=6 0000.4+7 0000.3+8 0000.2+9 0000.1=7 000, EY=5 0000.4+7 0000.3+9 0000.2+11 0000.1=7 000, DX=(6 000-7 000)20.4+(7 000-7 000)20.3+(8 000-7 000)20.2+(9 000-7 000)20.1 =1 0002, DY=(5 000-7 000)20.4+(7 000-7 000)20.3+(9 000-7 000)20.2+(11 000-7 000)20.1=2 0002, 则EX=EY,DXDY, 答:我希望不同职位的月薪差距小一些,选
11、择甲公司;(或:我希望不同职位的月薪差距大一些,选择乙公司),-21-,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)因为k1=5.551 33.841,根据表中对应值, 至少有95%的把握得出“选择意愿与年龄有关系”的结论,由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的22列联表如下:对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”,至少有99%的把握, 由99%95%,所以与年龄相比,选择意愿与性别关联性更大.,-22-,题型一,题型二,题型三,题型四,离散型随机变量的分布列(多维探究) 类型一 互斥事件、独立事件的概率及分布列 例3(2018江西南昌三模,19)质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零
12、件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格. (1)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4个进行检测,若至少2个合格,检测即可通过,若至少3个合格,检测即为良好,求甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率; (2)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件,用X表示乙车间的零件个数,求X的分布列与均值.,-23-,题型一,题型二,题型三,题型四,-24-,题型一,题型二,题型三,题型四,解题心得使用简洁、准确的数学语言描述解答过程是解答这类问题并得分的根本保证.引进字母表示事件可使得事件的描述简单而准确,使得问题描述有条理,不
13、会有遗漏,也不会重复.,-25-,题型一,题型二,题型三,题型四,类型二 古典概型及分布列的综合 例4为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“* ”表示服药者,“+”表示未服药者.,-26-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和均值E; (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的
14、方差的大小.(只需写出结论),-27-,题型一,题型二,题型三,题型四,-28-,题型一,题型二,题型三,题型四,二项分布 例5(2018河南开封一模,19)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇,2017年双11期间,某购物平台的销售业绩高达1 271亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系,现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. (1)完成下面的 22列联表,并判断是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关?,-29-,题型一,题型二,题型三,题型
15、四,(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的3次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X. 求对商品和服务全好评的次数X的分布列; 求X的均值和方差.,-30-,题型一,题型二,题型三,题型四,-31-,题型一,题型二,题型三,题型四,-32-,题型一,题型二,题型三,题型四,-33-,题型一,题型二,题型三,题型四,解题心得对于实际问题中的随机变量X,如果能够断定它服从二项分布B(n,p),则其概率、均值与方差可直接利用公式P(X=k)= C pk(1-p ) (k=0,1,2,n),EX=np,DX=np(1-p)求得,因此,熟记二项分布的相关公式,可以避免烦琐的运算过程,提
16、高运算速度和准确度.,-34-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练3(2018湖南株洲一模,19)某协会对A,B两家服务机构进行满意度调查,在由A,B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1 000人,每人分别对这两家服务机构进行评分,满分均为60分. 整理评分数据,将分数以 10 为组距分成6 组:0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60,得到A服务机构分数的频数分布表,B服务机构分数的频率分布直方图,如下.,-35-,题型一,题型二,题型三,题型四,-36-,题型一,题型二,题型三,题型四,定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下:(1)在抽
17、样的1 000人中,求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数; (2)从由A,B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查,试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率; (3)如果从A,B服务机构中选择一家服务机构,你会选择哪一家?说明理由.,-37-,题型一,题型二,题型三,题型四,解 (1)由对B服务机构分数的频率分布直方图,得: 对B服务机构“满意度指数”为0的频率为(0.003+0.005+0.012)10=0.2, 所以,对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数为1 0000.2=200.,-38-,题型一,题型二,题型三,题型四,
18、(2)设“对B服务机构评价满意度指数比对A服务机构评价满意度指数高”为事件C. 记“对B服务机构评价满意度指数为1”为事件B1;“对B服务机构评价满意度指数为2”为事件B2; “对A服务机构评价满意度指数为0”为事件A0;“对A服务机构评价满意度指数为1”为事件A1. 所以P(B1)=(0.02+0.02)10=0.4, P(B2)=0.4, 用频率估计概率得:P(A0)=0.1,P(A1)=0.55, 因为事件Ai与Bj相互独立,其中i=1,2,j=0,1. 所以P(C)=P(B1A0+B2A0+B2A1)=0.3, 所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数
19、”高的概率为 0.3.,-39-,题型一,题型二,题型三,题型四,(3)如果从学生对A,B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看,B服务机构“满意度指数”X的分布列为:A服务机构“满意度指数”Y的分布列为:因为EX=00.2+10.4+20.4=1.2;EY=00.1+10.55+20.35=1.25, 所以EXEY,会选择A服务机构.,-40-,题型一,题型二,题型三,题型四,样本的均值、方差与正态分布的综合 例6(2018山东日照三模,19)在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,
20、得到参加问卷调查的100人的得分(满分100分)统计结果如下表所示:,-41-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N ,198 ,近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(37Z79); (2)在(1)的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案: 得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于的可以获赠1次随机话费; 每次获赠的随机话费和对应的概率为:现有市民甲参加此次问卷调查,记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与均值.,-42-,题型一,题型
21、二,题型三,题型四,-43-,题型一,题型二,题型三,题型四,-44-,题型一,题型二,题型三,题型四,-45-,题型一,题型二,题型三,题型四,解题心得解决正态分布有关的问题,在理解,2意义的情况下,记清正态分布的密度曲线是一条关于x=对称的钟形曲线,很多问题都是利用图像的对称性解决的.,-46-,题型一,题型二,题型三,题型四,对点训练4在某市高中某学科竞赛中,某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示.,-47-,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩 (同一组中数据用该组区间中点作代表); (2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(,2),其中,2分别取考生的平均成绩 和考生成绩的方差s2,那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人? (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为,求P(3).(精确到0.001)zN(,2),则P(-z+)=68.3%,P(-2z+2)=95.4%; (84.15%)4=0.501.,-48-,题型一,题型二,题型三,题型四,-49-,题型一,题型二,题型三,题型四,
