1、1第二课时 两个计数原理的综合应用题 型 一 选 抽 取 与 分 配 问 题某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？思路导引 由题意可知有 1 人既会英语又会日语，分类讨论解 由题意 9 人中既会英语又会日语的“多面手”有 1 人则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有 2 种选法第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有 6 种选法第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有 2612(种)方法故共有 261220(
2、种)选法选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可跟踪训练1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A16 种 B18 种 C37 种 D48 种解析 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有 43
3、种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有 33种不同的分配方案则满足条件的不同的分配方案有 433 337 种故选 C.答案 C2甲、乙、丙、丁 4 个人各写 1 张贺卡，放在一起，再各取 1 张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？2解 第一步，甲取 1 张不是自己所写的贺卡，有 3 种取法；第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有 3 种取法；第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有 1 种取法；第四步，最后 1 个人取，只有 1 种取法由分步乘法计数原理可知，共有 33119 种取法题型二 用计数原理解决组数问题用 0,1,2,3,4 五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码
4、？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？思路导引 排数时“0”不能在首位，但电话号码“0”可以在首位解 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排法，共有 5555 3125(种)(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除 0 外共有 4种方法，第二、三位可以排 0，因此，共有 455100(种)(3)被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0，则有 4312(种)排法；一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首
5、位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318(种)排法因而有 121830(种)排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数组数问题的常见类型及解决原则(1)常见的组数问题组成的数为“奇数” 、 “偶数” 、 “被某数整除的数” ；在某一定范围内的数的问题；各位数字和为某一定值问题；各位数字之间满足某种关系问题等(2)解决原则明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解要注意数字“0”不能排在两位数字
6、或两位数字以上的数的最高位3跟踪训练1从 0,2 中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为( )A24 B18 C12 D6解析 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3 种情况)，之后十位(2 种情况)，最后百位(2 种情况)，共 12 种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3 种情况)，十位(2 种情况)，百位(不能是 0，一种情况)，共 6 种因此总共有 12618 种情况故选 B.答案 B2如果一个三位正整数如“ a1a2a3”满足 a1a2且 a3a2，则称这样的三位数为
7、凸数(如 120,342,275 等)，那么所有凸数个数是多少？解 分 8 类，当中间数为 2 时，百位只能选 1，个位可选 1,0，由分步乘法计数原理，有 122 个；当中间数为 3 时，百位可选 1,2，个位可选 0,1,2，由分步乘法计数原理，有 236个；同理可得：当中间数为 4 时，有 3412 个；当中间数为 5 时，有 4520 个；当中间数为 6 时，有 5630 个；当中间数为 7 时，有 6742 个；当中间数为 8 时，有 7856 个；当中间数为 9 时，有 8972 个故共有 26122030425672240 个题 型 三 用 计 数 原 理 解 决 涂 色 种 植
8、 问 题如图所示，要给“优” 、 “化” 、 “指” 、 “导”四个区域分别涂上 3 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？4解 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步第一步，涂“优”区域，有 3 种选择第二步，涂“化”区域，有 2 种选择第三步，涂“指”区域，由于它与“优” 、 “化”区域颜色不同，有 1 种选择第四步，涂“导”区域，由于它与“化” “指”区域颜色不同，有 1 种选择所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有 32116(种)求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域
9、为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题跟踪训练从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法5解 解法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有 3216(种)不同种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 3216(种)不同种植方法故不同的种植方法共有 6318(种)解法二：(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种，种在三块地上，有 43224(种)，其中不种黄瓜有 3216(种)，故共有不同种植方法 24618(种)1.本节课的重点是选(抽)取与分配问题，用计数原理解决组数、涂色(种植)问题，也是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法(1)选(抽)取与分配问题，见典例 1；(2)用计数原理解决组数问题，见典例 2；(3)用计数原理解决涂色(种植)问题，见典例 3.3在解决具体问题时，首先弄清楚是“分类”还是“分步” ，还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么简单地说， “分类互斥” “分步互依” ，关键是看能否独立完成这件事与此同时，还要注意分类、分步时不要重复和遗漏6
