1、1第二课时 排列的综合应用题 型 一 数 字 排 列 问 题用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4310 的四位偶数思路导引 排数问题中，当个位数字是奇数时，则该数即为奇数，当个位数字为偶数时，该数即为偶数，注意 0 不能作首位解 (1)第一步，排个位，有 A 种排法；13第二步，排十万位，有 A 种排法；14第三步，排其他位，有 A 种排法4故共有 A A A 288 个六位奇数13144(2)解法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类第一类
2、，当个位排 0 时，有 A 个；5第二类，当个位不排 0 时，有 A A A 个14144故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个)5 14144解法二：(排除法)0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况故符合题意的六位数共有 A 2A A 504(个)6 5 4(3)分三种情况，具体如下：当千位上排 1,3 时，有 A A A 个121324当千位上排 2 时，有 A A 个1224当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A 个；13形如 41的有 A A 个；1213形如 43的只有 4310 和 4302
3、 这两个数故共有 A A A A A 2A A A 2110(个)121324 1224 13 1213变式1本例中条件不变，能组成多少个被 5 整除的五位数？解 个位上的数字必须是 0 或 5.若个位上是 0，则有 A 个；若个位上是 5，若不含450，则有 A 个；若含 0，但 0 不作首位，则 0 的位置有 A 种排法，其余各位有 A 种排法，4 13 34故共有 A A A A 216(个)能被 5 整除的五位数45 4 133422本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 an，则 240135是第几项？解 由于是六位数，首位数字不能为 0，首位数字为 1 有 A 个
4、数，首位数字为 2，5万位上为 0,1,3 中的一个有 3A 个数，所以 240135 的项数是 A 3A 1193，即 2401354 5 4是数列的第 193 项数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论(2)常用方法：直接法、间接法(3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，
5、尤其注意特殊元素“0”的处理跟踪训练用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数(1)如果组成的四位数必须是偶数，那么这样的四位数有多少个？(2)如果组成的四位数必须大于 6500，那么这样的四位数有多少个？解 (1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数，个位数字只能是 2,4,6之一，所以有 A 种排法；第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有 A 种排法根据13 36分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是 A A 3654360.故这样的四位13 36数有 360 个(2)因为组成的四位数要大于 6500，所以千位上的数字只能取 7 或 6.排法可以
6、分两类第一类，千位上排 7，有 A 种不同的排法；第二类，若千位上排 6，则百位上可排 7363或 5，十位和个位可以从余下的数字中取 2 个来排，共有 A A 种不同的排法根据分类12 25加法计数原理，符合条件的四位数的个数是 A A A 160.故这样的四位数有 160 个36 12 25题型二 排队问题3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队拍照，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(4)全体站成一排，男、女生各站在一起；(5)全体站成一排，男生必须站在一起
7、；(6)全体站成一排，男生不能站在一起；(7)全体站成一排，男、女生各不相邻；(8)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人；(9)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人解 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲的位置，有 A 种方法，再考虑其余 6 人的位置，13有 A 种方法6故有 A A 2160 种方法13 6(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙的位置，有 A 种方法，再安排其余 5 人的位置，2有 A 种方法故有 A A 240 种方法5 2 5(3)解法一：(特殊元素优先法)按甲是否在最右端分两类：第一类，甲在最右端，有 A 种方法；6第二类，甲不在最右端，甲有 A 个位置可选，乙也有
8、A 个位置可选，其余 5 人有 A15 15种排法，即 A A A 种方法5 15 15 5故有 A A A A 3720 种方法6 15 15 5解法二：(间接法)无限制条件的排列方法共有 A 种，7而甲在最左端，乙在最右端的排法分别有 A 种，6甲在最左端且乙在最右端的排法有 A 种5故有 A 2A A 3720 种方法7 6 5解法三：(特殊元素优先法)按最左端先安排分步对于最左端、除甲外有 A 种排法，余下六个位置全排列有 A 种排法，其中甲不在最16 6左端，乙在最右端的排法有 A A 种故有 A A A A 3720 种方法15 5 16 6 15 5(4)(相邻问题捆绑法)男生必
9、须站在一起，即把 3 名男生进行全排列，有 A 种排法，3女生必须站在一起，即把 4 名女生进行全排列，有 A 种排法，全体男生、女生各看成一个4元素全排列有 A 种排法，由分步乘法计数原理知共有 A A A 288 种排法2 3 4 24(5)(捆绑法)把所有男生看成一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，故有 A A3720 种不同的排法5(6)(不相邻问题插空法)先排女生有 A 种排法，把 3 名男生安排在 4 名女生隔成的五4个空中，有 A 种排法，故有 A A 1440 种不同的排法35 4 35(7)对比(6)，让女生插空，有 A A 144 种不同的排法3 4(8)(捆绑
10、法)除甲、乙处，从其余的 5 人中任取 2 人，并站在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下的 3 个人进行全排列，故有 A A A 960 种不同的排法25 2 4(9)直接分步完成，共有 A A 5040 种不同的排法37 4排队问题的解答策略(1)“排队”问题与“排数”问题有些类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况复杂时，可考虑用间接法；(2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法，要注意分类时不重不漏，分步要连续、独立；间接法要注意不符合条件的情形，做到不重不漏；(3)某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看成一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内
11、部排列，这种方法称为“捆绑法” ，即“相邻元素捆绑法” ；(4)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法” ，即“不相邻元素插空法” 跟踪训练从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一列，求解下列问题：(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？5解 (1)解法一：把元素作为研究对象第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他 6 个元素中取出 5 个放在 5 个位置上，有A 种56第二类，含有甲，甲不
12、在首位：先从 4 个位置中选出 1 个放甲，再从甲以外的 6 个元素中选 4 个排在没有甲的位置上，有 A 种排法根据分步乘法计数原理，含有甲时共有464A 种排法46由分类加法计数原理，共有 A 4A 2160 种排法56 46解法二：把位置作为研究对象第一步，从甲以外的 6 个元素中选 1 个排在首位，有 A 种排法16第二步，从占据首位以外的 6 个元素中选 4 个排在除首位以外的其他 4 个位置上，有A 种排法46由分步乘法计数原理，可得共有 A A 2160 种排法16 46解法三：(间接法)即先不考虑限制条件，从 7 人中选出 5 人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉不考虑甲在首
13、位的要求，总的可能情况有 A 种；甲在首位的情况有 A 种，所以符合57 46要求的有 A A 2160 种排法57 46(2)把位置作为研究对象，先满足特殊位置第一步，从甲以外的 6 个元素中选两个排在首末两个位置上，有 A 种排法；26第二步，从未排上的 5 个元素中选 3 个排在中间 3 个位置上，有 A 种排法；35根据分步乘法计数原理，有 A A 1800 种排法26 35(3)把位置作为研究对象第一步，从甲、乙以外的 5 个元素中选两个排在首末两个位置，有 A 种排法；25第二步，从未排上的 5 个元素中选出 3 个排在中间 3 个位置上，有 A 种排法35根据分步乘法计数原理，共
14、有 A A 1200 种排法25 35(4)用间接法总的可能情况是 A 种，减去甲在首位的 A 种，再减去乙在末位的 A 种注意到甲在57 46 46首位同时乙在末位的情况被减去了两次，所以还需加上一次 A 种，所以共有35A 2A A 1860 种排法57 46 35题 型 三 排 列 中 的 定 序 问 题7 人站成一排(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少不同的排列方法思路导引 这类问题的解法是采用分类法 n 个不同元素的全排列有 A 种排法， mn个元素的全排列有 A 种排法因此 A 种排法中，关于
15、 m 个元素的不同分法有 A 类，而且m n m6每一分类的排法数是一样的当这 m 个元素顺序确定时，共有 种排法AnAm解 (1)甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有 2520(种)不同的A7A2排法(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的 .1A3故有 840(种)不同的排法A7A3在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有 m n 个元素排成一列，其中 m 个元素之间的先后顺序确定不变，将这 m n 个元素排成一列，有 A 种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他
16、 n 个元m n素的位置不动，把这 m 个元素交换顺序，有 A 种排法，其中只有一个排列是我们需要的，m因此共有 种满足条件的不同排法；Am nAm(2)插空法，即 m 个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这 m 个元素，只有一种排法，然后把剩下的 n 个元素分类或分步插入由以上 m 个元素形成的空中跟踪训练将 A， B， C， D， E 这五个字母排成一列，要求 A， B， C 在排列中的顺序为“ A， B， C”或“ C， B， A”(可以不相邻)，则这样的排列有多少种？解 5 个不同元素中部分元素 A， B， C 的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法7解法一：(整体法)5 个元
17、素无约束条件的全排列有 A 种，由于字母 A， B， C 的排列顺5序为“ A， B， C”或“ C， B， A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“ A， B， C”或“C， B， A”排列方式的排列种数为 240.A5A3解法二：(插空法)若字母 A， B， C 的排列顺序为“ A， B， C”，这时形成 4 个空，分两类将字母 D， E 插入第 1 类，若字母 D， E 相邻，则有 A A 种排法；14 2第 2 类，若字母 D， E 不相邻，则有 A 种排法24所以有 A A A 20 种不同的排列方法14 2 24同理，若字母 A， B， C 的排列顺序为“ C， B， A”，也有 20 种不同的排列方法因此，满足条件的排列种数为 202040.1.本节课的重点是排列中的数字问题、排队问题以及定序问题，其中数字问题是本节课的难点2本节课要重点掌握的规律方法(1)数字排列问题的解决方法，见典例 1；(2)排队问题的解决方法，见典例 2；(3)排列中的定序问题，见典例 3.3.“排队”问题与“排数”问题类似，主要是从特殊位置或特殊元素两个方面考虑，当正面考虑情况较复杂时，可以用间接法注意分类时不重不漏，分步要连续独立；间接法要注意不符合条件的情形8
