1、113.1 二项式定理教材研读预习教材 P2931 ，思考以下问题1二项式定理的内容是什么？其通项公式又是什么？2二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗？要点梳理1二项式定理(a b)nC anC an1 bC an2 b2C an kbkC bn(nN *)0n 1n 2n kn n(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做( a b)n的二项展开式，展开式中一共有 n1 项(3)二项式系数：各项的系数 C (k0,1,2， n叫做二项式系数kn2二项展开式的通项公式(a b)n展开式的第 k1 项叫做二项展开式的通项，记作
2、Tk1 C an kbk.kn自我诊断判断(正确的打“” ，错误的打“”)1( a b)n展开式中共有 n 项( )2二项式( a b)n与( b a)n展开式中第 r1 项相同( )3C an kbk是( a b)n展开式中的第 k 项( )kn答案 1. 2. 3.题 型 一 二 项 式 定 理思考：你能写出( b a)n的二项展开式吗？二项展开式中的字母 a， b 能交换位置吗？提示：( b a)nC bnC bn1 aC bn2 a2C an.0n 1n 2n n二项展开式中的字母 a， b 是不能交换的，即虽然( a b)n与( b a)n结果相同，但(a b)n与( b a)n的展
3、开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，不能混淆，如( a b)3的展开式中第 2 项是 3a2b，而( b a)3的展开式中第 2 项是 3ab2，两者是不同的2(1)求 4的展开式；(3x 1x)(2)化简：( x1) 55( x1) 410( x1) 310( x1) 25( x1)思路导引 (1)直接利用二项式定理展开即可；(2)为二项式定理的逆用，找好对应的 a， b 及 n 的值解 (1)解法一： 4C (3 )4C (3 )3 C (3 )(3x 1x) 04 x 14 x 1x 24 x2 2C 3 3C 481 x2108 x54 .(1x) 34 x (1x)
4、 4 (1x) 12x 1x2解法二： 4(3x 1x) 3x 1 4x2 (81x4108 x354 x212 x1)1x281 x2108 x54 .12x 1x2(2)原式C (x1) 5C (x1) 4C (x1) 3C (x1) 2C (x1)C (x1)05 15 25 35 45 501( x1)1 51 x51.运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如( a b)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式
5、化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数跟踪训练利用( a b)n的二项展开式解题(1)求( a2 b)4的展开式；(2)求 5的展开式(2x32x2)解 (1)根据二项式定理( a b)nC anC an1 bC an kbkC bn，得0n 1n kn n(a2 b)4C a4C a3(2b)C a2(2b)2C a(2b)3C (2b)04 14 24 34 44 a48 a3b24 a2b232 ab316 b4.(2) 5C (2x)5C (2x)4 C (2x)3 2C (2x)2 3C (2x)(2x32x2) 05 15 ( 32x2)
6、25 ( 32x2) 35 ( 32x2) 4534C 532 x5120 x2 .(32x2) 5( 32x2) 180x 135x4 4058x7 24332x10题型二 二项式定理中的特定项与系数问题思考 1：在( a b)n展开式中，第 k 项是什么？提示： Tk T(k1)1 C an k1 bk1 .k 1n思考 2：在( a b)n的二项展开式中， Tk1 C an kbk是二项展开式的第几项？其二项kn式系数是什么？提示： Tk1 C an kbk是第 k1 项，其二项式系数为 C .kn kn已知在 n的展开式中，第 6 项为常数项(3x 33x)(1)求 n 的值；(2)求
7、含 x2的项的系数；(3)求第 4 项的二项式系数及第 4 项的系数；(4)求展开式中所有的有理项思路导引 利用二项式定理中的通项公式求解解 (1)通项为 Tr1 C x (3) rx C (3) rx .rn rn 因为第 6 项为常数项，所以 r5 时，有 0，即 n10.n 2r3(2)令 2，得 r2.10 2r3所以所求的系数为 C (3) 2405.210(3) 10的展开式的通项是 Tr1 C (3) rx ，(3x 33x) r10 第 4 项的二项式系数为 C 120，第 4 项的系数为 C (3) 3120273240.310 310(4)根据通项，由题意得Error!所以
8、 r 可取 2,5,8.所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它们分别为 C (3) 2x2，C (3) 5，C (3) 8x2 .210 510 810即 405x2，61236,295245 x2 .求二项展开式的特定项问题，一般需要建立方程求 k，再将 k 的值代回通项求解，注意 k 的取值范围( k0,1,2， n)(1)第 m 项：此时 k1 m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元” ，令通项中“变元”的幂指数为 0 建立方程；4(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解【温馨提示】 应用通项公式
9、要注意四点(1)Tk1 是展开式中的第 k1 项，而不是第 k 项；(2)公式中 a， b 的指数和为 n，且 a， b 不能随便颠倒位置；(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；(4)对二项式( a b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题跟踪训练1求二项式 6的展开式中第 6 项的二项式系数和第 6 项的系数(2x1x)解 由已知得二项展开式的通项为 Tr1 C (2 )6 r r2 6 rC (1) rx ，r6 x (1x) r6 T612 x . 第 6 项的二项式系数为 C 6，56第 6 项的系数为 C (1) 5212.562求 9的展开式中 x3的系数(x1x)解
10、 设展开式中的第 r1 项为含 x3的项，则Tr1 C x9 r r(1) rC x92 r，r9 (1x) r9令 92 r3，得 r3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(1) 3C 84.39题 型 三 整 除 余 数 问 题用二项式定理证明 11101 能被 100 整除思路导引 由于 100 是 10 的整数倍，故可将 1110转化为(101) 10，用二项式定理展开证明 11 101(101) 101C 1010C 109C 108C 10C 101 10 210 910 10C 1010C 109C 10810 201 10 210100(10 8C 107C 1061)10 2
11、10显然上式括号内的数是正整数，所以 11101 能被 100 整除5整除性问题或求余数的处理方法(1)构造一个与题目条件有关的二项式；(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只需考虑后面(或者是前面)一、两项就可以了；(3)要注意余数的范围，若 a cr b，其中 b 为余数， b0， r)， r 是除数利用二项式定理展开、变形后，若剩余部分是负数，则要注意转化跟踪训练1试求 199510除以 8 的余数解 1995 10(82493) 10.其展开式中除末项为 310外，其余的各项均含有 8 这个因数，1995
12、 10除以 8 的余数与 310除以 8 的余数相同又3 109 5(81) 5，其展开式中除末项为 1 外，其余的各项均含有 8 这个因数，3 10除以 8 的余数为 1，即 199510除以 8 的余数也为 1.2求证：3 2n2 8 n9( nN *)能被 64 整除解 证明：3 2n2 8 n9(81) n1 8 n9C 8n1 C 8nC 8 n90n 1 1n 1 n 1C 8n1 C 8nC 82( n1)818 n90n 1 1n 1 n 1C 8n1 C 8nC 82.0n 1 1n 1 n 1式中的每一项都含有 82这个因数，故原式能被 64 整除1.本节课的重点是二项式定
13、理及利用二项式定理求二项展开式的特定项或特定项的系数，难点是利用二项式定理解决整除(余数)问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)会用二项式定理进行化简或求值，见典例 1；(2)会用二项式定理解决二项展开式的特定项或系数问题，见典例 2；(3)会用二项式定理解决整除(余数)问题，见典例 3.3本节课的易错点是项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析：(1)二项展开式的二项式系数是指 C ，C ，C 这些组合数，即二项展开式的通项0n 1n n6公式 Tr1 C an rbr中的 C (0 r n， rN)求二项展开式中某一项的二rn rn项式系数，关键是要确定 r 的值，要注意通项为展开式的第 r1 项(2)系数即该项字母前的数连同符号，求二项展开式的指定项的系数，可直接运用展开式的通项公式，并令该项的次数与指定项的次数相等，求出 r 的值，则指定项的系数就是把 r 代入组合数式和常数式的乘积计算后所得的值(3)项是指系数和含字母的式子的积，项数是指该项在展开式中的位置(4)二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关
