1、1第二章 推理与证明1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程 ax2 bx c0（ a0）有有理根，那么 a， b， c 中至少有一个是偶数” ，下列各假设中正确的是（ ）A.假设 a， b， c 都是偶数B.假设 a， b， c 都不是偶数C.假设 a， b， c 中至多有一个是偶数D.假设 a， b， c 中至多有两个偶数解析：选 B.对命题的结论“ a， b， c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a， b， c 都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中的“杨辉三角形
2、”.1 2 3 4 5 2 013 2 014 2 015 2 0163 5 7 9 4 027 4 029 4 0318 12 16 8 056 8 06020 28 16 116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.2 01722 013 B.2 01722 014C.2 01622 015 D.2 01622 014解析：选 B.当第一行为 2 个数时，最后一行仅一个数，为 33132 0；当第一行为 3 个数时，最后一行仅一个数，为 84242 1；当第一行为 4 个数时，最后一行仅一个数，为 205452
3、 2；当第一行为 5 个数时，最后一行仅一个数，为486862 3.归纳推理，得当第一行为 2 016 个数时，最后一行仅一个数，为 2 01722 014.故选 B.3.通过圆与球的类比，由结论“半径为 r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为 2r2”猜想关于球的相应结论为“半径为 R 的球的内接六面体中， ”.（ ）A.长方体的体积最大，最大值为 2R3B.正方体的体积最大，最大值为 3R3C.长方体的体积最大，最大值为43R392D.正方体的体积最大，最大值为83R39解析：选 D.类比可知半径为 R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a，正方体体对角线的长度等
4、于球的直径，即 a2 R，得 a ，体积 V a3 .故32R3 83R39选 D.4.已知 a， b， c， d（0，）.求证 ac bd .（ a2 b2） （ c2 d2）证明：法一：（分析法）欲证 ac bd ，（ a2 b2） （ c2 d2）只需证（ ac bd） 2（ a2 b2） （ c2 d2） ，即证 a2c22 abcd b2d2 a2c2 b2d2 a2d2 b2c2，即证 2abcd a2d2 b2c2，即证 0（ bc ad） 2，而 a， b， c， d（0，） ，0（ bc ad） 2显然成立，故原不等式成立.法二：（综合法）（ a2 b2） （ c2 d2）
5、a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 a2c2 b2d22 abcd（ ac bd） 2，所以 ac bd.（ a2 b2） （ c2 d2）5.已知数列 an满足关系式 a1 a（ a0） ， an （ n2， nN *） ，2an 11 an 1（1）用 a 表示 a2， a3， a4；（2）猜想 an的表达式（用 a 和 n 表示） ，并证明你的结论.解：（1） a2 ，2a1 aa3 ，2a21 a222a1 a1 2a1 a 4a1 3aa4 .2a31 a324a1 3a1 4a1 3a 8a1 7a（2）因为 a1 a ，20a1 （ 20 1） aa2 ，21a1 （ 21 1） a猜想 an .2n 1a1 （ 2n 1 1） a3下面用数学归纳法证明：当 n1 时，因为 a1 a ，所以当 n1 时结论正确.20a1 （ 20 1） a假设当 n k（ k1， kN *）时结论正确，即 ak ，所以当 n k1 时，2k 1a1 （ 2k 1 1） aak1 2ak1 ak2ka1 （ 2k 1 1） a1 2k 1a1 （ 2k 1 1） a2ka1 （ 2k 1 1） a 2k 1a ，2ka1 22k 1a a 2（ k 1） 1a1 2（ k 1） 1 1a所以当 n k1 时结论也正确.根据与可知命题对一切 nN *都正确.
