1、- 1 -吉林省长春市实验高中 2019 届高三数学第五次月考试题 理（含解析）第卷1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简集合 A，求得 后再求 详解：由题意得 ， ， 故选 C点睛：进行集合间的运算时要注意运算的顺序，若条件中给出的集合需要化简时要先化简2.若复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，得 ， 故选 A3.若向量 ， ，则 （ ）A. B. 5 C. 20 D. 25【答案】B【解析】,故选 B.4.下图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为 1，靶中各圆的半径依次加 1，在靶中随机取一点，则此
2、点取黑色部分（7 环到 9 环）的概率是（ ）- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分析：根据面积型的几何概型求解详解：由几何概型概率公式可得，所求概率为 故选 D 点睛：根据几何概型概率公式求概率时，关键是如何确定所有基本事件构成的平面区域的面积以及所求概率对应的事件构成的平面区域的面积，然后根据公式求解5.若变量 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：画出可行域，将 变形为 ，然后平移直线 找到最优解后可求得 z 的最小值详解：画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示） - 3 -由 得 平移直线 ，结合图形可得，当直线
3、经过可行域内的点 A 时，直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值由 解得 ，故点 故选 B点睛：求目标函数 的最值时，将函数 转化为直线的斜截式的形式：，通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值，解题时要分清 z 与截距 间是正比还是反比的关系6.在公差为 2 的等差数列 中， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据等差数列中的基本量间的关系，借助于 进行计算详解：由题意得 故选 B点睛：等差数列中关于项的计算问题，要注意 的变化与运用，对于条件求值的问题，还要注意整体代换的运用 7.某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为 ,则该几何体的体积为( )
4、- 4 -A. B. C. D. 【答案】A【解析】该几何体为一棱长为 6 的正方体掏掉一个棱长为 2 的小正方体，再放置进去一个半径为 1 的球，所以体积为 .故选 A.8.已知圆 ： 与圆 关于 轴对称， 为圆 上的动点，当 到直线 的距离最小时， 的横坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圆 的方程为： ，过 M（3，-4）且与直线 y=x+2 垂直的直线方程为 y=-x-1,代入 ，得 ，故当 Q 到直线 y=x+2 的距离最小时，Q 的坐标为9.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生
5、过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以 2，奇数项是序号平方减 1 再除以 2，其前 10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100 项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )- 5 -A. 是偶数?， ? B. 是奇数?， ?C. 是偶数?， ? D. 是奇数?， ?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以 ，奇数项是序号平方减 再除以 ，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图， 结束，所以第二个框应该填 ，故选 D.10.在侦破某一起案件
6、时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中揪出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参加；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与.据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是A. 甲、乙 B. 乙、丙C. 丙、丁 D. 甲、丁【答案】C- 6 -【解析】分析：对四个选项逐一分析、排除可得答案详解：若甲、乙参与此案，则与信息（2） ， （3） ， （4）矛盾，故 A 不正确若乙、丙参与此案，则与信息（1） ， （3）矛盾，故 B 不正确若丙、丁参与此案，则信息全部符合，故 C 正确若甲、丁参与此案，则与信息（1） ， （4
7、）矛盾，故 D 不正确故选 C点睛：本题主要考查推理的应用，此类问题的解法主要是根据反证法的思想，对给出的每一选项要逐一分析，看是否与题意符合，然后通过排除得到答案11.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象，若 在上单调递减，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知 ，又 在 上单调递减，所以 ，得： ，故 得的取值范围为 ，故选 D12.设双曲线 ： 的左顶点与右焦点分别为 ， ，以线段 为底边作一个等腰 ，且 边上的高 .若 的垂心恰好在 的一条渐近线上，且 的离心率为，则下列判断正确的是（ ）A. 存在唯一的 ，且B. 存在两个不同的 ，且一个
8、在区间 内，另一个在区间 内C. 存在唯一的 ，且D. 存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内- 7 -【答案】A【解析】由题意可设 ，可得 的垂心 H ，因为 的垂心恰好在的一条渐近线上，所以，所以存在唯一的 ，且 ，当时 无零点，选 A.点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断第卷二、填空题13.若 是函数 的一个极值点
9、，则实数 _【答案】3【解析】. ，得 .经检验，符合题意.故答案为：3. 14.设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的最小值为_.【答案】4【解析】分析：由 得到等比数列的公比 ，然后再根据基本不等式求解详解：设等比数列 的公比为 ， ，- 8 - ，当且仅当 ，即 时等号成立 的最小值为 4点睛：利用基本不等式求最值时要注意不等式成立的条件，即“一正二定三相等” ，且三个条件缺一不可，解题时要说明等号成立的条件15.若 的展开式中 的系数为 80，则 _.【答案】【解析】分析： 中 的系数与 的积，加上 中 的系数与 的系数的积就是展开式 的系数。详解： 展开式通项为 ，令 ，则 ，
10、令 ，则 ， ，解得 ，故答案为2.点睛：二项式 的展开式的通项为 ，由此通项公式可求展开式中的特定项。如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.16.在四面体 中， 平面 ， ， ，点 为 的重心，若四面体 的外接球的表面积为 ，则 _.【答案】2【解析】分析：结合题意先确定 的外心 O 的位置，进而求得 外接圆的半径然后根据四面体外接球的表面积求得外接球的半径，由此可求得 ，最后根据- 9 -求解即可得到结论详解：设 BC 的中点为 E点 是 的重心， 设 的外心为 O，由题意得点 O 在 AE 上，令 ，则有 ，即 ，解得 又
11、平面 ，四面体 的外接球的半径 ，由题意得 ，解得 ， 点睛：本题求四面体外接球半径的方法具有一般性，其条件是在三棱锥 中， 平面 ，设 外接圆的半径为 ，外接球半径为 ，则 三、解答题17.在 中，角 的对边分别为 ，已知 ， ，（1）求角 的大小；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）由条件 及三角变换可得 ，从而- 10 -，解得 ，于是可得 （2）由正弦定理可得 ，又 ，于是得 ，然后根据余弦定理求得 ，于是可得结论详解：（1） ， ， ， ，解得 （舍去）又 ， .（2）由 及正弦定理的 ，又 ， ，在 中，由根据余弦定理得 ， .点睛：（1）在三角形中根据已知
12、条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意18.如图，三棱锥 的三条侧棱两两垂直， ， ， 分别是棱的中点.（1）证明：平面 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.- 11 -【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：（1）由 可得 又由题意得 平面 ，故有 ，于是平面 ，根据面面垂直的判定可得结论成立 （2）由题意建立空间直角坐标系，根据条件求得平面 的法向量 ，又平面 的一个法向量为 ，然后根据及图形可得所求余弦值详解：(1)证明：因为 ，
13、是棱 的中点，所以 又三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，所以 平面 ，又 平面 ，则 因为 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .（2）由于三棱锥 的三条侧棱两两垂直，故可以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，- 12 -则 ，故 ，设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，令 ，得 ，由（1）知平面 的一个法向量为 ，所以 .由图可知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 .点睛：（1）证明空间中的位置关系时要严格按照相关定理的要求书写解题过程，特别是对于定理中的关键词，在解题过程中要得到体现（2）根据空间向量的运算得到两平面法向量夹角的余弦值后，还要根据图形判断出所求的二面角为锐
14、角还是钝角，然后才能得到结论19.自 2013 年 10 月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系.某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州-福州-广州-海口-北海（广西）-河内-吉隆坡-雅加达-科伦坡-加尔各答-内罗毕-雅典-威尼斯的 个城市中选择 个城市建设自己的工业厂房，根据这 个城市的需求量生产某产品，并将其销往这 个城市.（1）求所选的 个城市中至少有 个在国内的概率；（2）已知每间工业厂房的月产量为 万件，若一间厂房正常生产，则每月或获得利润 万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损 万，该公司为了确定建设工业厂房的数
15、目，统计了近 年来这 个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：- 13 -月需求量（单位：万件） 100 110 120 130月份数 6 24 18 12若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？【答案】(1) ；(2)12 间.【解析】分析：（1）根据对立事件的概率及古典概型求解即可 （2）设该产品每月的总利润为 ，分别求出 时每月总利润的数学期望，根据其中期望最大的来决定建设厂房的数量详解：（1）记事件 为“该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内” ，则 ，所以该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的
16、概率为 .（2）设该产品每月的总利润为 ，当 时， 万元当 时， 的分布列为所以 万元.当 时， 的分布列为所以 万元.当 时， 的分布列为- 14 -所以 万元.综上可知，当 时 万元最大，故建设厂房 12 间点睛：（1）离散型随机变量的期望与方差的应用，是高考的重要考点，不仅考查学生的理解能力与数学计算能力，而且不断创新问题情境，突出学生运用概率、期望与方差解决实际问题的能力（2）在实际问题中，一般地将期望最大(或最小)的方案作为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案20.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为 ，且 过点，圆 是以线段 为直径的圆，
17、经过点 且倾斜角为 的直线与圆 相切.（1）求椭圆 及圆 的方程； （2）是否存在直线 ，使得直线 与圆 相切，与椭圆 交于 两点，且满足 ？若存在，请求出直线 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）椭圆 的方程为 ，圆 的方程为 ；（2）不存在【解析】分析：（1）由题意得 ，再根据椭圆过点 得到关于 的方程组，求解后可得椭圆和圆的方程 （2）先假设存在直线满足条件 （）当直线斜率不存在时，可得直线方程为 ，求得点 的坐标后验证可得 ；（）当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得不成立从而可得不存在直线 满足题意详解：(1)由题意知
18、, , ，圆 的方程为由题可知 ，解得 ，- 15 -所以椭圆 的方程为 ，圆 的方程为 .（2）假设存在直线 满足题意.由 ，可得 ，故 （）当直线 的斜率不存在时，此时 的方程为 当直线 时，可得所以 同理可得，当 时， .故直线 不存在（）当直线 的斜率存在时，设 方程为 ， 因为直线 与圆 相切，所以 ，整理得 由 消去 y 整理得 ，设 ，则 ， ，因为 ，所以 ，则 ，即 ，所以 ，所以 ，整理得 由得 ，此时方程无解.故直线 不存在- 16 -由（i） （ii）可知不存在直线 满足题意.点睛：圆锥曲线中存在性问题的求解步骤假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数
19、法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在21.已知函数 （ 是常数）.（1）求 的单调区间与最大值；（2）设 在区间 （ 为自然对数底数）上的最大值为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）求导后根据函数的单调性可得单调区间，然后可得最值 （2）对实数 进行分类讨论，分别求出函数的最值后再结合条件求出实数 即可详解：（1）由题意得函数 的定义域为 ， ， 令 ，得 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减函数的单调增区间为 ，减区间为 故当 时， 有极大值，也为最大值，且 （2）
20、因为 ，所以 ， ，则 若 ，则 ，从而 在 上是增函数， ，不合题意- 17 -若 ，则由 ，得 ；由 ，得 ， 在 上为增函数，在 为减函数， ，由题意得 ，解得 符合题意综上可得 点睛：（1）利用导数求函数的最值时要注意函数单调性的运用，由单调性得到函数的极值，然后再求最值对于含有参数的问题，要结合条件对参数进行分类讨论，分类时要做到合理、不重不漏（2）对于已知函数的最值求参数或其范围的问题，在解题仍要注意单调性的应用，结合函数的单调性进行求解、判断选修 44：坐标系与参数方程22.在直角坐标坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以直角坐标系的原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建
21、立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 .（1）求曲线 的普通方程；（2）若 与曲线 相切，且 与坐标轴交于 两点，求以 为直径的圆的极坐标方程.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）利用公式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用 与曲线 相切，结合一元二次方程的解法求出结果详解：（1）由 ，得 ，即 ，故曲线 的普通方程为 （2）由 ，当 ，联立 得 ，- 18 -因为 与曲线 相切，所以 ， ，所以 的方程为 ，不妨假设 ，则 ，线段 的中点为 所以 ，又 ，故以 为直径的圆的直角坐标方程为 点睛：把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法.选修 45：不等式选讲23.已知函数 ， .（1）求不等式 的解集；（2）若存在 ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）分 ， ，和 三种情况去掉绝对值，解不等式即可.（2）由题存在 ，使得 成立，即 .又 ，由（1）可知 ，所以 ，可解得 的取值范围.试题解析：（1）由题意可得 ，当 时， ，得 ，无解；当 时， ，得 ，即 ；当 时， ，得 .综上， 的解集为 .（2）因为存在 ，使得 成立，所以 .又 ，- 19 -由（1）可知， ，则所以 ，解得 .故 的取值范围为 .- 20 -
