1、1滚动测试卷三(第一七章)(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知集合 M=x|x2+x0, N= ,则 M N 等于 ( )x|2x14A.-1,0 B.(-1,0) C.(-2,+ ) D.(-2,0答案 C解析 由 x2+x0,得 x(x+1)0,即 -1 x0,故 M=-1,0;由 2x =2-2,即 x-2,故 N=(-2,+ );14因此, M N=(-2,+ ),故选 C.2.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,B=60,a=4,其面积 S=20 ,则 c=( )3A.15 B.16
2、 C.20 D.4 21答案 C解析 由三角形面积公式可得 S ABC= acsinB= 4csin60=20 ,据此可得 c=20.12 12 33.设命题 p:x0,ln xlg x,命题 q:x0, =1-x2,则下列命题为真命题的是( )xA.p q B.( p)( q)C.p( q) D.( p) q答案 D解析 当 x=1 时,ln x=lgx=0.故命题 p 是假命题 .画出 y= 与 y=1-x2的图象(图略),可知在 x(0, + )上两个图象有交点,故命题 q 是真命题 .x因此( p) q 是真命题 .故选 D.24.(2018 河南安阳模拟)欧拉公式 eix=cos x
3、+isin x(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥” .根据欧拉公式可知, 表示的复数位于复平面中的( )e20183 iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 由欧拉公式 eix=cosx+isinx(i 为虚数单位)可得,=cos +isin e20183 i 20183 20183=cos +isin(672 +23) (672 +23)=cos +isin =-cos +isin =- i,23 23 3 3 12+ 32 表示的复数对应
4、的点为 ,此点位于第二象限 .e20183 i (-12,32)5.已知甲、乙、丙三人中,一人是军人,一人是工人,一人是农民 .若乙的年龄比农民的年龄大,丙的年龄和工人的年龄不同,工人的年龄比甲的年龄小,则下列判断正确的是( )A.甲是军人,乙是工人,丙是农民B.甲是农民,乙是军人,丙是工人C.甲是农民,乙是工人,丙是军人D.甲是工人,乙是农民,丙是军人答案 A解析 丙的年龄和工人的年龄不同;工人的年龄比甲的年龄小,则甲、丙均不是工人,故乙是工人;乙的年龄比农民的年龄大,即工人的年龄比农民的年龄大,而工人的年龄比甲的年龄小,故甲不是农民,则丙是农民;最后可确定甲是军人 .6.已知 sin 2=
5、 ,则 tan + =( )23 1tanA.1 B.2 C.4 D.3答案 D3解析 sin2= 2sin cos= ,即 sin cos= ,23 13 tan+ =3.1tan =sincos +cossin = 1sin cos故选 D.7.函数 f(x)= -log2(x+2)在区间 -1,1上的最大值为 ( )(13)xA.2 B.3 C.6 D.9答案 B解析 因为 y= 在 R 上单调递减, y=log2(x+2)在 -1,1上单调递增,所以 f(x)在 -1,1上单调递减,所(13)x以 f(x)在 -1,1上的最大值为 f(-1)=3.8.已知等差数列 an的前 n 项和为
6、 Sn,若 2a6=a8+6,则 S7等于 ( )A.49 B.42 C.35 D.24答案 B解析 设等差数列 an的公差为 d. 2a6=a8+6, 2(a1+5d)=a1+7d+6,即 a1+3d=6,即 a4=6.又 a1+a7=2a4,S 7= =7a4=76=42.故选 B.7(a1+a7)29.已知实数 a,b 满足 2a=3,3b=2,则函数 f(x)=ax+x-b 的零点所在的区间是( )A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)答案 B解析 实数 a,b 满足 2a=3,3b=2,a= log231,00,f(-1)=log32-1-log32=-
7、10 时, f(x)-1,x- 2.故答案为 A.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知 a0,b0,ab=8,则当 a 的值为 时,log 2alog2(2b)取得最大值 . 答案 4解析 由题意,知log2alog2(2b) log2a+log2(2b)2 2=log2(2ab)2 2= =4,(log2162)2当且仅当 log2a=log2(2b),即 a=2b 时等号成立 .又因为 ab=8,且 a0,所以 a=4.14.已知函数 f(x)= 且 f(a)=-3,则 f(5-a)= . 2x-2,x 1,-log2(x+1),x1,答案 -746解析
8、 当 a1 时, f(a)=2a-2=-3,即 2a=-1,不符合题意,舍去;当 a1 时, f(a)=-log2(a+1)=-3,解得 a=7.故 f(5-a)=f(-2)=2-2-2=- .7415.(2018 山东烟台二模)在正项等差数列 an中有 成立,则在正项a41+a42+a6020 =a1+a2+a100100等比数列 bn中,类似的结论为 . 答案 20b41b42b43b60=100b1b2b3b100解析 结合等差数列和等比数列的性质,类比题中的结论可得,在正项等比数列 bn中,类似的结论为.20b41b42b43b60=100b1b2b3b10016.已知函数 f(x)=
9、-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n -1,1,则 f(m)+f(n)的最小值是 .答案 -13解析 求导得 f(x)=-3x2+2ax.由 f(x)在 x=2 处取得极值知 f(2)=0,即 -34+2a2=0,故 a=3.由此可得 f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x.由此可得 f(x)在( -1,0)内单调递减,在(0,1)内单调递增,故对 m -1,1时, f(m)min=f(0)=-4.又 f(x)=-3x2+6x 的图象开口向下,且对称轴为 x=1, 对 n -1,1时, f(n)min=f(-1)=-9.于是, f(m)+f(n)的最小值为 -
10、13.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(10 分)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,bcos C=a- c.12(1)求角 B 的大小;(2)若 b=1,求 a+c 的最大值 .7解 (1)b cosC=a- c,b =a- c,12 a2+b2-c22ab 12b 2-c2=a2-ac,b 2=a2+c2-ac, cosB= .12又 B(0,), B= . 3(2)b 2=a2+c2-2accosB, 1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.ac ,当且仅当 a=c 时等号成立,(a+c)24 (a+c)21,即 a+c2, a+c 的最大值
11、为 2.1418.(12 分)在数列 an中,已知 a1=1,a2=2,2an+1-an=an+2-2.(1)设 bn=an+1-an,求数列 bn的通项公式;(2)设 cn=2n ,求数列 cn的前 n 项和 Sn.2bn解 (1) 2an+1-an=an+2-2,a n+2-an+1=an+1-an+2,b n+1-bn=2,即 bn是以 2 为公差的等差数列 .由题意知 b1=a2-a1=2-1=1,b n=1+2(n-1)=2n-1.(2)cn=2n22n-1=n4n.S n=14+242+n4n. 4Sn=142+243+n4n+1. - ,得 -3Sn=4+42+43+4n-n4n
12、+1= -n4n+1= ,4-4n+11-4 (1-3n)4n+1-43S n= .(3n-1)4n+1+4919.(12 分)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+ csin B.33(1)若 a=2,b= ,求 c;78(2)若 sin -2sin2 =0,求 A.3 (2A- 6) (C-12)解 (1)a=b cosC+ csinB,33 sinA=sinBcosC+ sinCsinB,33 cosBsinC= sinCsinB,33 tanB= ,B= .3 3b 2=a2+c2-2accosB,c 2-2c-3=0,c= 3.
13、(2)B= , 3 sin -2sin23 (2A- 6) (C-12)= sin -1+cos3 (2A- 6) (2C- 6)= sin +cos -13 (2A- 6) (43-2A- 6)= sin -cos -13 (2A- 6) (2A- 6)=2sin -1=0,(2A- 3)又 0,a n+10.12 ,得 (n2, nN *),an-1an+1=13an-1-1an-1+19且 =- 0,a1-1a1+1=12-112+1 13 是首项为 - ,公比为 的等比数列 .an-1an+1 13 13因此, =- =- ,a n= .an-1an+1 13(13)n-1 (13)n 3n-13n+1(2)由(1)得, cn=(3n+1)an=3n-1.(反证法)假设存在正整数 l,m,n,且 1 l0;当 x( -2,-ln2)时, f(x)0.故 f(x)在( - ,-2),(-ln2,+ )内单调递增,在( -2,-ln2)内单调递减 .当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e-2).11
