1、1考点规范练 14 导数的概念及运算一、基础巩固1.已知函数 f(x)= +1,则 的值为 ( )3x lim x 0f(1- x)-f(1) xA.- B. C. D.013 13 23答案 A解析 =-lim x 0f(1- x)-f(1) x lim x 0f(1- x)-f(1)- x=-f(1)=- =- .(131-23) 132.已知曲线 y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为( )A.e B.-e C. D.-1e 1e答案 C解析 由题意可得 y=lnx的定义域为(0, + ),且 y= .1x设切点为( x0,lnx0),则切线方程为 y-lnx0= (x-x0).1x
2、0因为切线过点(0,0),所以 -lnx0=-1,解得 x0=e,故此切线的斜率为 .1e3.已知函数 f(x)在 R上满足 f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是( )A.y=2x-1 B.y=x C.y=3x-2 D.y=-2x+3答案 C解析 令 x=1,得 f(1)=1;令 2-x=t,可得 x=2-t,代入 f(2-x)=2x2-7x+6得 f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得 f(t)=2t2-t,即 f(x)=2x2-x,f (x)=4x-1,f (1)=1,f(1)=3, 所求切线方程为 y-1=3(x-1),即
3、 y=3x-2.4.2已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2是曲线 y=f(x)在 x=3处的切线,令 g(x)=xf(x),g(x)是 g(x)的导函数,则 g(3)=( )A.-1 B.0C.2 D.4答案 B解析 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3处切线的斜率等于 - ,故 f(3)=- .13 13g (x)=xf(x),g (x)=f(x)+xf(x),g (3)=f(3)+3f(3).又由题图可知 f(3)=1,g (3)=1+3 =0.(-13)5.曲线 f(x)=x3-x+3在点 P处的切线平行于直线 y=2x-1,则点 P的坐标为( )A.(1,3) B.
4、(-1,3)C.(1,3)和( -1,3) D.(1,-3)答案 C解析 f (x)=x3-x+3,f (x)=3x2-1.设点 P(x,y),则 f(x)=2,即 3x2-1=2,解得 x=1或 x=-1,故 P(1,3)或( -1,3).经检验,点(1,3),( -1,3)均不在直线 y=2x-1上,符合题意 .故选 C.6.已知直线 y=kx+1与曲线 y=x3+ax+b相切于点 A(1,2),则 ab等于( )A.-8 B.-6 C.-1 D.5答案 A解析 由题意得 y=kx+1过点 A(1,2),故 2=k+1,即 k=1.3y= 3x2+a,且直线 y=kx+1与曲线 y=x3+
5、ax+b相切于点 A(1,2),k= 3+a,即 1=3+a,a=- 2.将点 A(1,2)代入曲线方程 y=x3+ax+b,可解得 b=3,即 ab=(-2)3=-8.故选 A.7.若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有T性质 .下列函数中具有 T性质的是( )A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3答案 A解析 设曲线上两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为 k1=f(x1),k2=f(x2).若函数具有 T性质,则 k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项
6、, f(x)=cosx,显然 k1k2=cosx1cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质 T;B项, f(x)= (x0),显然 k1k2= =-1无解,故该函数不具有性质 T;1x 1x11x2C项, f(x)=ex0,显然 k1k2= =-1无解,故该函数不具有性质 T;ex1ex2D项, f(x)=3x20,显然 k1k2=3 3 =-1无解,故该函数不具有性质 T.x21 x22综上,选 A.8.若点 P是曲线 y=x2-ln x上任意一点,则点 P到直线 y=x-2的距离的最小值为( )A.1 B. C. D.222 3答案 B解析 因为定义域为(0, + ),所以 y=2x
7、- ,令 2x- =1,解得 x=1,则曲线在点 P(1,1)处的切线方程为1x 1xx-y=0,所以两平行线间的距离为 d= .故所求的最小值为 .22= 2 29.(2018天津,文 10)已知函数 f(x)=exln x,f(x)为 f(x)的导函数,则 f(1)的值为 .答案 e4解析 f (x)=exlnx,f (x)=exlnx+ .exxf (1)=eln1+ =e.e110.曲线 y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 . 答案 log2e12解析 y= ,k= , 切线方程为 y= (x-1),1xln2 1ln2 1ln2 所围三角形的面积为 S=
8、 1 log2e.12 1ln2= 12ln2=1211.(2018甘肃天水月考)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1, g(1)处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为 . 答案 4解析 由导数的几何意义及条件,得 g(1)=2, 函数 f(x)=g(x)+x2,f (x)=g(x)+2x,f (1)=g(1)+2=4, 曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为 4.12.若函数 f(x)= x2-ax+ln x存在垂直于 y轴的切线,则实数 a的取值范围是 . 12答案 2,+ )解析 f (x)= x2-ax
9、+lnx,12f (x)=x-a+ .1xf (x)存在垂直于 y轴的切线,f (x)存在零点, x+ -a=0有解,1xa=x+ 2( x0).1x二、能力提升513.若函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则 y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )答案 D解析 由 y=f(x)的图象知 y=f(x)在(0, + )内单调递减,说明函数 y=f(x)的切线的斜率在(0, + )内也单调递减,故可排除 A,C.又由图象知 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D.
10、14.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3和 y=ax2+ x-9都相切,则 a等于( )154A.-1或 - B.-1或2564 214C.- 或 - D.- 或 774 2564 74答案 A解析 因为 y=x3,所以 y=3x2.设过点(1,0)的直线与 y=x3相切于点( x0, ),x30则在该点处的切线斜率为 k=3 ,所以切线方程为 y- =3 (x-x0),即 y=3 x-2 .x20 x30 x20 x20 x30又点(1,0)在切线上,则 x0=0或 x0= .32当 x0=0时,由 y=0与 y=ax2+ x-9相切,154可得 a=- ;25646当 x0= 时,
11、由 y= x- 与 y=ax2+ x-9相切,可得 a=-1.32 274 274 15415.(2018安徽六安模拟)给出定义:设 f(x)是函数 y=f(x)的导函数, f (x)是函数 f(x)的导函数,若方程 f (x)=0有实数解 x0,则称点( x0,f(x0)为函数 y=f(x)的“拐点” .已知函数 f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是 M(x0,f(x0),则点 M( )A.在直线 y=-3x上 B.在直线 y=3x上C.在直线 y=-4x上 D.在直线 y=4x上答案 B解析 由题意,知 f(x)=3+4cosx+sinx,f (x)=-4sinx+cosx
12、,由 f (x0)=0,知 -4sinx0+cosx0=0,即 4sinx0-cosx0=0,所以 f(x0)=3x0+4sinx0-cosx0=3x0,即点 M(x0,3x0),显然在直线 y=3x上 .故选 B.16.已知 f(x),g(x)分别是定义在 R上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数 h(x)=2f(x)-g(x)在点(0, h(0)处的切线方程是 . 答案 x-y+4=0解析 f (x)-g(x)=ex+x2+1,且 f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,f (-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.f (x)= ,g(x)= .ex+e-x+2x2+22 e-x-ex2h (x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2= ex+ e-x+2x2+2.32 12h (x)= ex- e-x+4x,32 12即 h(0)= =1.32-12又 h(0)=4, 切线方程为 x-y+4=0.三、高考预测717.设曲线 y=xex+x2在原点处的切线与直线 x+ay+1=0垂直,则 a= . 答案 1解析 由 y=xex+x2得 y=ex+xex+2x,在原点处的切线的斜率 k1=e0+0e0+0=1,直线 x+ay+1=0的斜率 k2=- ,1a由题意知 k1k2=- 1=-1a=1.1a
