1、1考点规范练 15 导数与函数的单调性、极值、最值一、基础巩固1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(- ,2) B.(0,3)C.(1,4) D.(2,+ )答案 D解析 函数 f(x)=(x-3)ex的导数为 f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当 f(x)0时,函数 f(x)单调递增,此时由不等式 f(x)=(x-2)ex0,解得 x2.2.(2018广东东莞考前冲刺)若 x=1是函数 f(x)=ax+ln x的极值点,则( )A.f(x)有极大值 -1 B.f(x)有极小值 -1C.f(x)有极大值 0
2、D.f(x)有极小值 0答案 A解析 x= 1是函数 f(x)=ax+lnx的极值点, f (1)=0,a+ =0,a=- 1.11f (x)=-1+ =0x=1.1x当 x1时, f(x)0,因此 f(x)有极大值 -1.3.定义域为 R的可导函数 y=f(x)的导函数 f(x),满足 f(x)2ex的解集为( )A.(- ,0) B.(- ,2)C.(0,+ ) D.(2,+ )答案 C解析 设 g(x)= ,则 g(x)= .f(x)ex f(x)-f(x)ex2f (x)0,即函数 g(x)在定义域内单调递增 .f (0)=2,g (0)=f(0)=2, 不等式 f(x)2ex等价于
3、g(x)g(0). 函数 g(x)在定义域内单调递增 .x 0, 不等式的解集为(0, + ),故选 C.4.函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( )答案 D解析 设导函数 y=f(x)的三个零点分别为 x1,x2,x3,且 x10,f(x)是增函数,所以函数 y=f(x)的图象可能为 D,故选 D.5.已知函数 f(x)=- x2+4x-3ln x在区间 t,t+1上不单调,则 t的取值范围是 .12答案 (0,1)(2,3)解析 由题意知 f(x)=-x+4- =- .3x= -x2+4x-3x (x-1)(x-3)x由 f(x)=0得
4、 x1=1,x2=3,可知 1,3是函数 f(x)的两个极值点 .则只要这两个极值点有一个在区间( t,t+1)内,函数 f(x)在区间 t,t+1上就不单调,3由 t0解得 01,即函数 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1, + )内单调递减 .当 a0时,令 g(x)=0,得 x=1或 x= ,若 ,则由 g(x)0解得 x1或 01,即 00解得 x 或 0 时,函数 g(x)在 内单调递增,在 内单调递减,在(1, + )内单调递增 .12 (0,12a) (12a,1)7.已知函数 f(x)= (a0)的导函数 y=f(x)的两个零点为 -3和 0.ax2+bx+cex(1)求
5、f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的极小值为 -e3,求 f(x)的极大值及 f(x)在区间 -5,+ )内的最大值 .4解 (1)因为 f(x)= ,ax2+bx+cex所以 f(x)= ,-ax2+(2a-b)x+b-cex设 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c.因为 a0,所以由题意知:当 -30,即 f(x)0;当 x0时, g(x)5=f(0),所以函数 f(x)在区间 -5,+ )内的最大值是 5e5.5e-58.已知函数 f(x)=xex-a (aR) .(x22+x)(1)当 a=1时,求函数 f(x)的极值;(2)讨论函数 f(x)的单调性 .解 (1)当 a=1
6、时, f(x)=xex- ,f(x)=ex+xex-(x+1)=(x+1)(ex-1),(x22+x)令 f(x)=0,得 x=-1或 x=0.x(- ,-1)-1(-1,0)0(0,+ )f(x)+ 0- 0+5f(x) 当 x=-1时, f(x)有极大值 f(-1)= ;12-1e当 x=0时, f(x)有极小值 f(0)=0.(2)f(x)=ex+xex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),当 a0 时,e x-a0,由 f(x)0得 x-1,即在区间( -1,+ )内,函数 f(x)单调递增;由 f(x)0时,令 f(x)=0,得 x=-1或 x=lna. 当 lna=-1,即 a=
7、e-1时,无论 x-1或 x0,又 f(-1)=0,即在 R上, f(x)0,从而函数 f(x)在 R上单调递增 . 当 lna0x-1或 x-1,即 ae-1时,由 f(x)=(x+1)(ex-a)0xlna或 x0,即 f(x)0,故 f(x)为增函数;当 xx2时, g(x)0(其中 f(x)是函数 f(x)(-2,2)的导函数),则下列不等式成立的是( )A. 2f D.f(0)(3) 2f(4)答案 A解析 构造函数 g(x)= ,f(x)cosx则 g(x)= f(x)cosx+f(x)sinx.1cos2x 对任意的 x 满足 f(x)cosx+f(x)sinx0,(-2,2)g
8、 (x)0,即函数 g(x)在 内单调递增 .(-2,2)g 0时, xf(x)-f(x)0成立的 x的取值范围是 . 答案 (- ,-1)(0,1)解析 当 x0时,令 F(x)= ,f(x)x则 F(x)= 0时, F(x)= 为减函数 .f(x)xf (x)为奇函数,且由 f(-1)=0,得 f(1)=0,故 F(1)=0.在区间(0,1)内, F(x)0;在(1, + )内, F(x)0;当 x1时, f(x)0;当 x( -1,0)时, f(x)0的解集为( - ,-1)(0,1) .12.已知函数 f(x)=aln x+x2-ax(aR) .(1)若 x=3是 f(x)的极值点,求
9、 f(x)的单调区间;(2)求 g(x)=f(x)-2x在区间1,e上的最小值 h(a).解 (1)f(x)= +2x-a(x0).axx= 3是函数 f(x)的一个极值点,f (3)= +6-a=0,解得 a=9,a3f (x)= ,(2x-3)(x-3)x 当 03时, f(x)0;32当 -1时,试判断函数 f(x)的单调性;(2)若 a0时, g(x)0,f(x)在(0, + )上单调递增,当 x-1,所以 1+a0,即 f(x)0,所以函数 f(x)在 R上单调递增 .(2)证明 由(1)知 f(x)在1, + )上单调递增,因为 a1,12则 h(x)=x(1-ex)0,1xf(x
10、)=2x+ (x-1) ,当 1时, f(x)0.3-12f (x)的减区间是 ,增区间是 和(1, + ).(3-12 ,1) (0,3-12 )(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,则需 f(x)=2x+ 有两个不相等的正零点 .1x2+ax=2x3+ax+1x2令 g(x)=2x3+ax+1(x0),故需 g(x)有两个不相等的正零点,则 g(x)=6x2+a. 当 a0 时, g(x)0,g (x)不可能有两个不相等的正零点,故 f(x)不可能有两个极值点 . 当 a 时, g(x)0.-a6 -a6故 g(x)在 上单调递减,在 上单调递增 .(0, -a6) ( -a6,+ ) 需 g(x)min=g +10,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+10,(-1a) 2a3故 g(x)在 上和 上各有一个零点,(0, -a6) ( -a6,+ )g (x)有两个不相等的正零点,f (x)有两个极值点 .综上, a的取值范围是 .(- ,-3342)
