1、1点规范练 25 平面向量基本定理及向量的坐标表示一、基础巩固1.向量 a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案 B解析 由题意知,A 选项中 e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选 B.2.向量 a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若 c= a+ b( , R),则 =( )A.2 B.4C. D.12 14答案 B解析 以向量 a和 b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方
2、形的边长为 1),则 A(1,-1),B(6,2),C(5,-1).所以 a= =(-1,1),b= =(6,2),c= =(-1,-3).AO OB BC c= a+ b, (-1,-3)= (-1,1)+ (6,2), 解得- +6 = -1, +2 = -3, = -2, = -12,2 =4.3.已知平面向量 a=(1,-2),b=(2,m),且 ab,则 3a+2b=( )A.(7,2) B.(7,-14) C.(7,-4) D.(7,-8)答案 B解析 因为 ab,所以 m+4=0,所以 m=-4.所以 b=(2,-4).所以 3a+2b=(7,-14).4.在 ABCD中, =(
3、2,8), =(-3,4),对角线 AC与 BD相交于点 M,则 =( )AD AB AMA. B. C. D.(-12,-6) (-12,6) (12,-6) (12,6)答案 B解析 因为在 ABCD中,有 ,所以 )= (-1,12)= ,故选 B.AC=AB+AD,AM=12AC AM=12(AB+AD12 (-12,6)5.在 ABC中,点 P在 BC上,且 =2 ,点 Q是 AC的中点 .若 =(4,3), =(1,5),则 等于( )BPPC PA PQ BCA.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)答案 B解析 如图, =3 =3(2 )=6 -
4、3 =(6,30)-(12,9)=(-6,21).BCPC PQ-PA PQPA6.已知平面直角坐标系内的两个向量 a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量 c都可以唯一地表示成 c= a+ b( , 为实数),则 m的取值范围是( )A.(- ,2) B.(2,+ )C.(- ,+ ) D.(- ,2)(2, + )答案 D解析 因为平面内的任一向量 c都可以唯一地表示成 c= a+ b( , 为实数),所以 a,b一定不共线,所以 3m-2-2m0,解得 m2,所以 m的取值范围是( - ,2)(2, + ),故选 D.37.若平面内两个向量 a=(2cos ,1)与 b=
5、(1,cos )共线,则 cos 2 等于( )A. B.1 C.-1 D.012答案 D解析 由向量 a=(2cos ,1)与 b=(1,cos )共线,知 2cos cos- 11=0,所以 2cos2- 1=0,所以cos2= 0,故选 D.8.在平面直角坐标系 xOy中,已知 A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且 AOC= ,且4|OC|=2.若 = + ,则 += ( )OC OA OBA.2 B. C.2 D.42 2 2答案 A解析 因为 |OC|=2, AOC= ,C为坐标平面第一象限内一点,所以 C( ).4 2, 2又因为 = + ,OC OA OB所
6、以( )= (1,0)+ (0,1)=( , ).2, 2所以 = ,所以 += 2 .2 29.已知平面内有三点 A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且 ,则 x的值为 . AB AC答案 1解析 由题意,得 =(3,6), =(x,2).AB AC , 6x-6=0,解得 x=1.AB AC10.若平面向量 a,b满足 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,b =(2,-1),则 a= .答案 (-1,1)或( -3,1)解析 由 |a+b|=1,a+b平行于 x轴,得 a+b=(1,0)或 a+b=(-1,0),则 a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或 a=(-1,0)-
7、(2,-1)=(-3,1).11.4如图,在 ABCD中, M,N分别为 DC,BC的中点 .已知 =c, =d,则 = , = AM AN AB AD.(用 c,d表示) 答案 (2d-c) (2c-d)23 23解析 设 =a, =b.因为 M,N分别为 DC,BC的中点,所以 b, a.AB AD BN=12 DM=12又 所以c=b+12a,d=a+12b, a=23(2d-c),b=23(2c-d),即 (2d-c), (2c-d).AB=23 AD=23二、能力提升12.在 ABC中,点 D在线段 BC的延长线上,且 =3 ,点 O在线段 CD上(与点 C,D不重合) .若 =xB
8、CCD AO+(1-x) ,则 x的取值范围是( )AB ACA. B. C. D.(0,12) (0,13) (-12,0) (-13,0)答案 D解析 依题意,设 = ,其中 1 0, 0),AB AC AD AB AC则当 取得最大值时, | |的值为( )AD6A. B.3 C. D.72 52 125答案 C解析 因为 = + ,而 D,B,C三点共线,AD AB AC所以 += 1,所以 ,( +2 )2=14当且仅当 = 时取等号,此时 ,12 AD=12AB+12AC所以 D是线段 BC的中点,所以 | |= |= .故选 C.AD12|BC5216.在 ABC中, a,b,c
9、分别是内角 A,B,C所对的边,且 3a +4b +5c =0,则 abc= . BC CA AB答案 20 15 12解析 3a +4b +5c =0,BC CA AB 3a( )+4b +5c =0.BA+AC CA AB (3a-5c) +(3a-4b) =0.BA AC在 ABC中, 不共线,BA,AC 解得3a=5c,3a=4b, c=35a,b=34a.abc=a a a=20 15 12.34 35三、高考预测17.已知向量 a=(m,2m-1),b=(1,-2),若 ab,则 |4a+2b|= . 答案 3 5解析 向量 a=(m,2m-1),b=(1,-2),且 ab,- 2m=2m-1,解得 m= , a= ,14 (14,-12) 4a+2b=(3,-6),| 4a+2b|= =3 .32+(-6)2 57
