1、1考点规范练 44 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础巩固1.已知圆:( x-1)2+y2=2,则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为( )A.x+y-3=0 B.2x+y-5=0C.x=2 D.x-y-1=0答案 A解析 由题意可得圆心坐标为(1,0),根据斜率公式可得圆心(1,0)与(2,1)连线的斜率为 =1,故过1-02-1该圆上的点(2,1)的切线斜率为 -1, 过该圆上的点(2,1)的切线方程为 y-1=-(x-2),即 x+y-3=0.2.已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a0)截直线 x+y=0所得线段的长度是 2 ,则圆 M与圆 N:(x-1)2+(y-1)22=1的位置
2、关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析 圆 M的方程可化为 x2+(y-a)2=a2,故其圆心为 M(0,a),半径 R=a.所以圆心到直线 x+y=0的距离 d= a.|0+a|12+12= 22所以直线 x+y=0被圆 M所截弦长为2 =2 a,R2-d2 a2-(22a)2= 2由题意可得 a=2 ,故 a=2.2 2圆 N的圆心 N(1,1),半径 r=1.而 |MN|= ,(1-0)2+(1-2)2= 2显然 R-r0)相交于 A,B两点,且 AOB=120(O为坐标原点),则 r= .答案 2解析 如图,由题意知,圆心 O到直线 3x-4y+5=0的距离 |
3、OC|= =1,故圆的半径 r= =2.532+(-4)2 1cos608.已知圆 C:x2+(y-1)2=5,直线 l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对 mR,直线 l与圆 C总有两个不同的交点;(2)设直线 l与圆 C交于 A,B两点,若 |AB|= ,求直线 l的倾斜角 .17(1)证明 将已知直线 l化为 y-1=m(x-1);故直线 l恒过定点 P(1,1).因为 =10,解得 - 0)上的一个动点, PA,PB是圆 C:x2+y2-2y=0的两条切线, A,B是切点,若四边形 PACB的面积的最小值为 2,则实数 k的值为 . 答案 2解析 根据题意画出图形如下图所示 .6由题
4、意得圆 C:x2+y2-2y=0的圆心 C(0,1),半径为 r=1,由圆的性质可得 S 四边形 PACB=2S PBC,四边形 PACB的面积的最小值为 2,S PBC的最小值S=1= rd(d是切线长),12d min=2,此时 |CP|min= .5 圆心到直线的距离就是 PC的最小值, ,51+k2= 5又 k0,k= 2.13.已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆 C的切线在 x轴和 y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程 .解 因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为 1或切线过原点 . 当 k=1时,设切线方程为 y=-x+b或 y=x+c,分别代入
5、圆 C的方程得 2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或 2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即 b=3或 b=-1,c=5或 c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0. 当切线过原点时,设切线方程为 y=kx,即 kx-y=0.由 ,得 k=2 .|-k-2|k2+1 = 2 6所以此时切线方程为 y=(2 )x.6综上 可得切线方程为 x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2- )x-y=0或(2 + )x-y=0.6 614.7如图,在平面直角坐标系 xOy中
6、,已知以 M为圆心的圆 M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点 A(2,4).(1)设圆 N与 x轴相切,与圆 M外切,且圆心 N在直线 x=6上,求圆 N的标准方程;(2)设平行于 OA的直线 l与圆 M相交于 B,C两点,且 BC=OA,求直线 l的方程;(3)设点 T(t,0)满足:存在圆 M上的两点 P和 Q,使得 ,求实数 t的取值范围 .TA+TP=TQ解 因为圆 M的标准方程为( x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心 M(6,7),半径为 5.(1)由圆心 N在直线 x=6上,可设 N(6,y0).因为圆 N与 x轴相切,与圆 M外切,所以 00),若曲线 x2+y2-2 x-2y+3=0上存在点 P,使得 APB=90,则正3实数 a的取值范围为( )A.(0,3 B.1,3C.2,3 D.1,2答案 B解析 把圆的方程 x2+y2-2 x-2y+3=0化为( x- )2+(y-1)2=1,3 3以 AB为直径的圆的方程为 x2+y2=a2,若曲线 x2+y2-2 x-2y+3=0上存在点 P,3使得 APB=90,则两圆有交点,所以 |a-1|2 a+1,解得 1 a3 .9
