1、1考点规范练 46 双曲线一、基础巩固1.若 a1,则双曲线 -y2=1 的离心率的取值范围是( )x2a2A.( ,+ ) B.( ,2) C.(1, ) D.(1,2)2 2 2答案 C解析 由题意得 e2= =1+ .c2a2=a2+1a2 1a2因为 a1,所以 10)的一条渐近线与直线 y= x 垂直,则此双曲线的实轴y2a2-x29 13长为( )A.2 B.4 C.18 D.36答案 C解析 双曲线的一条渐近线的方程为 y=- x,所以 - =-1,解得 a=9,所以双曲线的实轴长为 2a=18.a3 a313故选 C.4.设椭圆 C1的离心率为 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 2
2、6,若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距513离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2的标准方程为( )2A. =1 B. =1x242-y232 x2132-y252C. =1 D. =1x232-y242 x2132-y2122答案 A解析 由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0),设曲线 C2上的一点 P,则 |PF1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知 a=4,b=3.故曲线 C2的标准方程为 =1.x242-y2325.设 F1,F2分别为双曲线 =1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得( |PF1|-|PF2|)x2a2-y2b22=b
3、2-3ab,则该双曲线的离心率为( )A. B. C.4 D.2 15 17答案 D解析 由双曲线的定义知,( |PF1|-|PF2|)2=4a2,所以 4a2=b2-3ab,即 -3 =4,解得 =4 .b2a2 ba ba (ba= -1舍去 )因为双曲线的离心率 e= ,ca= 1+b2a2所以 e= .故选 D.176.已知双曲线 =1 的一个焦点为 F(2,0),且双曲线与圆( x-2)2+y2=1 相切,则双曲线的离心率为x2a2-y2b2( )A. B.2 C.3 D.432答案 B解析 因为双曲线 =1 的一个焦点为 F(2,0),x2a2-y2b2所以 c=2,因为双曲线与圆
4、( x-2)2+y2=1 相切,所以圆心为 F(2,0),半径 r=1.所以 c-a=1,即 a=1,所以双曲线的离心率 e= =2.ca37.(2018 江苏,8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 =1(a0,b0)的右焦点 F(c,0)到一条渐x2a2-y2b2近线的距离为 c,则其离心率的值是 . 32答案 2解析 双曲线的渐近线为 y= x,即 bxay=0.ba所以双曲线的焦点 F(c,0)到渐近线的距离为 =b,解得 b= c,因此 a2=c2-b2=c2-|bc0|a2+b2=bcc 32c2= c2,a= c,e=2.34 14 128.(2018 江西六校联考)双曲线
5、C: -y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线交双曲线左支于 A,Bx24两点,则 |AF2|+|BF2|的最小值为 . 答案 9解析 由双曲线的定义,得 |AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2 +4a=2 +8=9.b2a 129.设 A,B 分别为双曲线 =1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 ,焦点到渐近线的x2a2-y2b2 3距离为 .3(1)求双曲线的方程;(2)已知直线 y= x-2 与双曲线的右支交于 M,N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使 =t ,求33 OM+ONODt 的值及点 D 的坐标 .解
6、 (1)由题意知 a=2 ,故可得一条渐近线方程为 y= x,3b23即 bx-2 y=0,所以 .3|bc|b2+12= 3所以 b2=3,所以双曲线的方程为 =1.x212-y23(2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 x+84=0,3则 x1+x2=16 ,y1+y2=12.34故 解得x0y0=433,x2012-y203=1, x0=4 3,y0=3. 由 =t ,得(16 ,12)=(4 t,3t),故 t=4,点 D 的坐标为(4 ,3).OM+ONOD 3 3 310.已
7、知点 M(-2,0),N(2,0),动点 P 满足条件 |PM|-|PN|=2 ,记动点 P 的轨迹为 W.2(1)求 W 的方程;(2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点, O 是坐标原点,求 的最小值 .OAOB解 (1)由 |PM|-|PN|=2 知动点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长 a= .2 2又焦距 2c=4,所以虚半轴长 b= .c2-a2= 2所以 W 的方程为 =1(x ).x22-y22 2(2)设 A,B 的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2).当 AB x 轴时, x1=x2,y1=-y2,从而 =x1x2+y1y2= =2.OAOB
8、x21-y21当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m(k 1),与 W 的方程联立,消去 y 得(1 -k2)x2-2kmx-m2-2=0,则 x1+x2= ,x1x2= ,2km1-k2 m2+2k2-1所以 =x1x2+y1y2OAOB=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= +m2(1+k2)(m2+2)k2-1 + 2k2m21-k2= =2+ .2k2+2k2-1 4k2-1又因为 x1x20,所以 k2-10.所以 2.OAOB综上所述,当 AB x 轴时, 取得最小值 2.OAOB5二、能力提升11.已
9、知双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上, OAF 是边长为 2 的等x2a2-y2b2边三角形( O 为原点),则双曲线的方程为( )A. =1 B. =1x24-y212 x212-y24C. -y2=1 D.x2- =1x23 y23答案 D解析 双曲线 =1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且 OAF 是边长为x2a2-y2b22 的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y= x 上,ba 解得c=2,ba=tan60,a2+b2=c2, a=1,b= 3. 双曲线的方程为 x2- =1.故选 D.y2312.已知双曲线 C
10、: =1(a0,b0)的右焦点为 F,以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲x2a2-y2b2线的一个交点为 M,且 MF 与双曲线的实轴垂直,则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C. D.252 5 2答案 C解析 设 F(c,0),渐近线方程为 y= x,ba可得点 F 到渐近线的距离为 =b,bca2+b2即有圆 F 的半径为 b.令 x=c,可得 y=b = .c2a2-1 b2a由题意可得 =b,即 a=b,则 c= a.b2a a2+b2= 2即离心率 e= .ca= 2613.已知定点 F1(-2,0),F2(2,0),N 是圆 O:x2+y2=1 上任意一点,点 F
11、1关于点 N 的对称点为 M,线段F1M 的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P,则点 P 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆答案 B解析 如图,连接 ON,由题意可得 |ON|=1,且 N 为 MF1的中点,又 O 为 F1F2的中点, |MF 2|=2. 点 F1关于点 N 的对称点为 M,线段 F1M 的垂直平分线与直线 F2M 相交于点 P,由垂直平分线的性质可得 |PM|=|PF1|,|PF 2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=20,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且x2a2-y2b2|PF1|=4|PF2|,则此
12、双曲线的离心率 e 的最大值为 . 答案53解析 由定义,知 |PF1|-|PF2|=2a.又 |PF1|=4|PF2|,|PF 1|= a,|PF2|= a.83 23在 PF1F2中,由余弦定理,得 cos F1PF2= e2.649a2+49a2-4c2283a23a =178-98要求 e 的最大值,即求 cos F1PF2的最小值, 当 cos F1PF2=-1 时,得 e= ,53即 e 的最大值为 .53715.已知双曲线 C:x2-y2=1 及直线 l:y=kx-1.(1)若 l 与 C 有两个不同的交点,求实数 k 的取值范围;(2)若 l 与 C 交于 A,B 两点, O
13、是坐标原点,且 AOB 的面积为 ,求实数 k 的值 .2解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点,则方程组 有两个不同的实数根,x2-y2=1,y=kx-1整理得(1 -k2)x2+2kx-2=0.故 1-k2 0, =4k2+8(1-k2)0,解得 - |x2|时,S OAB=S OAD-S OBD= (|x1|-|x2|)= |x1-x2|;12 12当 A,B 在双曲线的两支上且 x1x2时,S OAB=S ODA+S OBD= (|x1|+|x2|)= |x1-x2|.12 12故 S OAB= |x1-x2|= ,12 2即( x1-x2)2=(2 )2,即 =8,2 (
14、-2k1-k2)2+ 81-k2解得 k=0 或 k= .62又 - 0,b0),x2a2-y2b2则 =1,且 a=2,解得 b=2.8a2-4b2则双曲线的标准方程为 =1.x24-y24(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为 F1(-2 ,0),F2(2 ,0).2 2若 F1PF2是直角,则设 P(x,y),则有 x2+y2=8.由 解得 x2=6,y2=2.x2+y2=8,x2-y2=4,由 解得 y=1,不满足题意,舍去 .x2+y2=8,x2+(y2)2=8,故在曲线上所求点 P 的坐标为( ),(- ),(- ,- ),( ,- ).6, 2 6, 2 6 2 6 29三、高考预测17.已知双曲线 =1 的左焦点为 F,右顶点为 A,虚轴的一个端点为 B,若 ABF 为等腰三角形,则x2a2-y2b2该双曲线的离心率为( )A.1+ B. C. D.3 5 3 2答案 A解析 由题意得 F(-c,0),A(a,0),不妨设 B(0,b),则|BF|= c,|AF|=a+cc,|AB|= =c,b2+c2 a2+b2因为 ABF 为等腰三角形,所以只能是 |AF|=|BF|,a+c= .c2+b2a 2+c2+2ac=c2+c2-a2.c 2-2a2-2ac=0,即 e2-2e-2=0,e=1+ (舍去负值),选 A.3
