1、1考点规范练 47 抛物线一、基础巩固1.(2018 吉林省吉林市调研)以抛物线 y2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线 x=-2 相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是( )A.(0,2) B.(2,0) C.(4,0) D.(0,4)答案 B解析 由题意得,抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=-2,因为动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0) .选 B.2.抛物线 y=-4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( )A.- B.- C. D.1716 1516 1716 1516答案 B解析 抛物线
2、方程可化为 x2=- ,其准线方程为 y= .y4 116设 M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知 -y0=1,y0=- .116 15163.(2018 北京朝阳一模)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,若 |AB|=8,则线段 AB 的中点 M 到直线 x+1=0 的距离为( )A.2 B.4 C.8 D.16答案 B2解析 如图,抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=-1,即 x+1=0,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为 C,D,则有 |AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过 AB
3、 的中点 M 作准线的垂线,垂足为 N,则 MN 为直角梯形 ABDC 的中位线,则 |MN|= (|AC|+|BD|)=4,即 M 到直线 x+1=0 的距离为 4.故选 B.124.已知抛物线 x2=ay 与直线 y=2x-2 相交于 M,N 两点,若 MN 中点的横坐标为 3,则此抛物线方程为( )A.x2= y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y32答案 D解析 设点 M(x1,y1),N(x2,y2).由 消去 y,得 x2-2ax+2a=0,x2=ay,y=2x-2所以 =3,即 a=3,x1+x22 =2a2因此所求的抛物线方程是 x2=3y.5.(2018 山东菏
4、泽期末)已知等边三角形 AOB(O 为坐标原点)的三个顶点在抛物线 :y2=2px(p0)上,且 AOB 的面积为 9 ,则 p=( )3A. B.3 C. D.332 332答案 C解析 根据抛物线和等边三角形的对称性可知 A,B 两点关于 x 轴对称,不妨设直线 OB:y= x,与33y2=2px 联立得 B(6p,2 p),因为 AOB 的面积为 9 ,所以 (4 p)2=9 ,解得 p= .故选 C.3 334 3 3 326.已知抛物线 y2=2px(p0)上一点 M(1,m)(m0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y2=1 的左顶点为 A,x2a若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平
5、行,则实数 a=( )A. B. C. D.19 14 13 12答案 A解析 因为抛物线的准线为 x=- ,所以 1+ =5,解得 p=8,所以 m=4.又双曲线的左顶点坐标为( - ,0),p2 p2 a所以 ,解得 a= ,故选 A.41+ a= 1a 1937.若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 10,则 M 到 y 轴的距离是 . 答案 9解析 设点 M 坐标为( xM,yM).抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1,由抛物线的定义知 xM+1=10,即 xM=9.8.已知抛物线 y2=4x,过焦点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 y 轴的垂线
6、,垂足分别为 C,D,则 |AC|+|BD|的最小值为 . 答案 2解析 由题意知 F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即 |AC|+|BD|取得最小值时当且仅当 |AB|取得最小值 .依抛物线定义知当 |AB|为通径,即 |AB|=2p=4 时,为最小值,所以 |AC|+|BD|的最小值为 2.9.已知过抛物线 y2=2px(p0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),(x-1)2+y2化简得 y2=4x(x0).(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y
7、2).设 l 的方程为 x=ty+m.由 得 y2-4ty-4m=0,= 16(t2+m)0,x=ty+m,y2=4x, 于是 y1+y2=4t,y1y2= -4m. 因为 =(x1-1,y1), =(x2-1,y2),FA FB所以 =(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.FAFB又 0)的焦点为 F,A(x1,2),B(x2,8)是 C 上两点,且x2x10,若 |BF|=3|AF|,则 x1+x2=( )A.3 B.6 C.6 D.82 2答案 C解析 3|FA|=|FB|, 根据抛物线的定义,可得 3 =8+ ,(2+p2) p2解得 p=2,6
8、抛物线方程为 x2=4y,将 y1=2,y2=8 代入方程,得 x1=2 ,x2=4 ,x 1+x2=6 .故选 C.2 2 213.已知双曲线 -x2=1 的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p0)的准线交于 A,B 两点, O 为坐标原点,若y24 OAB 的面积为 1,则 p 的值为( )A.1 B. C.2 D.42 2答案 B解析 双曲线 -x2=1 的两条渐近线方程是 y=2x.y24又抛物线 y2=2px(p0)的准线方程是 x=- ,p2故 A,B 两点的纵坐标是 y=p. AOB 的面积为 1, 2p=1.12p2p 0,p= .214.已知抛物线 C:y2=2px(p0
9、)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|.54(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程 .解 (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= .8p所以 |PQ|= ,|QF|= +x0= .8p p2 p2+8p由题设得 ,p2+8p=548p解得 p=-2(舍去)或 p=2.所以 C 的方程为 y2=4x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m0
10、) .代入 y2=4x 得 y2-4my-4=0.7设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4.故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|= |y1-y2|=4(m2+1).m2+1又 l的斜率为 -m,所以 l的方程为 x=- y+2m2+3.1m将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0.4m设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3).4m故 MN 的中点为 E ,(2m2+2m2+3,-2m)|MN|= |y3-y4|= .1+1m2 4(m2+1)2m2+1m2由于 MN
11、 垂直平分 AB,故 A,M,B,N 四点在同一圆上等价于 |AE|=|BE|= |MN|,12从而 |AB|2+|DE|2= |MN|2,14 14即 4(m2+1)2+(2m+2m)2+(2m2+2)2= ,4(m2+1)2(2m2+1)m4化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1.所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0.15.已知抛物线 x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为 1,过点 P(0,p)作直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中 x1x2.(1)若直线 AB 的斜率为 ,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的
12、切线,求圆 C 的方程 .12(2)若 = ,是否存在异于点 P 的点 Q,使得对任意 ,都有 ( - )?若存在,求出点 Q 的AP PB QP QA QB坐标;若不存在,说明理由 .解 (1)由已知得 p=2,直线和 y 轴交于点(0,2),8则直线 AB 的方程为 y-2= x,即 x-2y+4=0.12由 得 A,B 的坐标分别为(4,4),( -2,1).x-2y+4=0,x2=4y, 又 x2=4y,可得 y= x2,故 y= x,14 12故抛物线在点 A 处切线的斜率为 2.设圆 C 的方程为( x-a)2+(y-b)2=r2,则 b-4a-4= -12,(a+2)2+(b-1
13、)2=(a-4)2+(b-4)2,解得 a=-1,b= ,r2= ,132 1254故圆的方程为( x+1)2+ ,(y-132)2=1254即为 x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2,代入抛物线方程 x2=4y 得 x2-4kx-8=0,故 x1x2=-8. 由已知 = 得 -x1=x 2.AP PB若 k=0,这时 = 1,要使 ( - ),点 Q 必在 y 轴上 .QP QA QB设点 Q 的坐标是(0, m),从而 =(0,2-m),QP- =(x1,y1-m)- (x2,y2-m)QA QB=(x1-x 2,y1-m- (y2-m),
14、故 ( - )=(2-m)y1-y 2-m(1- )=0,QP QA QB即 y1-y 2-m(1- )=0,即 -m =0,x214+x1x2x224 (1+x1x2)即 (x1+x2)(x1x2-4m)=0,将 代入得 m=-2.14x29所以存在点 Q(0,-2)使得 ( - ).QP QA QB三、高考预测16.已知点 F 是抛物线 y2=2px(p0)(O 为坐标原点)的焦点,倾斜角为 的直线 l 过焦点 F 且与抛物 3线在第一象限交于点 A,当 |AF|=2 时,抛物线方程为( )A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x答案 B解析 过点 A 作 AB x 轴于点 B,则 Rt ABF 中, AFB=60,|AF|=2,所以 |BF|=|AF|cos AFB= |AF|=1,12|AB|=|AF|sin AFB= .3设点 A 的坐标为( x0, ,3)(x0p2)由 解得 p=1.x0+p2=2,3=2px0,所以抛物线的方程为 y2=2x.故选 B.10
