1、1考点规范练 53 随机事件的概率一、基础巩固1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件 A,则下列推断正确的是( )A.事件 A 发生的概率等于15B.事件 A 发生的概率等于25C.事件 A 是不可能事件D.事件 A 是必然事件答案 D解析 因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件 A 是必然事件 .故选 D.2.从 16 个同类产品(其中有 14 个正品,2 个次品)中任意抽取 3 个,下列事件的概率为 1 的是( )A.三个都是正品 B.三个都是次品C.三个中至少有一个是正品 D.三个中至少有一个是次品
2、答案 C解析 在 16 个同类产品中,只有 2 个次品,可知抽取 3 个产品,A 是随机事件,B 是不可能事件,C 是必然事件,D 是随机事件,又必然事件的概率为 1,故 C 正确 .3.把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )A.是对立事件 B.是不可能事件C.是互斥事件但不是对立事件 D.不是互斥事件答案 C解析 显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给乙或丙,综上可知这两个事件是互斥事件但不是对立事件 .24.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A 为“抽到一等品”,事件 B 为“抽到二等品”,事件
3、C 为“抽到三等品”,且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5答案 C解析 “抽到的产品不是一等品”与事件 A 是对立事件, 所求概率为 1-P(A)=0.35.5.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2,该同学的身高在160,175(单位:cm)内的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( )A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案 B解析 因为必然事件发生的概率是 1,所以该同学的身高超过 175cm
4、的概率为 1-0.2-0.5=0.3,故选 B.6.下列命题: 对立事件一定是互斥事件; 若 A,B 为两个随机事件,则 P(A B)=P(A)+P(B); 若事件 A,B,C 彼此互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; 若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A 与 B 是对立事件 .其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 A解析 根据对立事件与互斥事件的关系,得 正确; 不正确,当 A,B 是互斥事件时,才有 P(A B)=P(A)+P(B); 不正确, P(A)+P(B)+P(C)不一定等于 1,还可能小于 1; 不正确,例如:袋中有除颜色外,其余均
5、相同的红、黄、黑、绿 4 个球,从袋中任摸一个球,设事件 A=摸到红球或黄球,事件 B=摸到黄球或黑球,显然事件 A 与 B 不是对立事件,但 P(A)+P(B)= =1.12+1237.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为 ,37乙夺得冠军的概率为 ,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 14答案1928解析 因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .37+14=19288.某班选派
6、 5 人参加学校举行的数学竞赛,获奖的人数及其概率如下:获奖人数 /人0 1 234 5概 率0.10.16xy0.2z(1)若获奖人数不超过 2 的概率为 0.56,求 x 的值;(2)若获奖人数最多为 4 的概率为 0.96,最少为 3 的概率为 0.44,求 y,z 的值 .解 记“在竞赛中,有 k 人获奖”为事件 Ak(kN, k5),则事件 Ak彼此互斥 .(1) 获奖人数不超过 2 的概率为 0.56,P (A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56.解得 x=0.3.(2)由获奖人数最多为 4 的概率为 0.96,得 P(A5)=1-0.96=0.04,即 z
7、=0.04.由获奖人数最少为 3 的概率为 0.44,得 P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即 y+0.2+0.04=0.44.解得 y=0.2.49.在某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得 .1 000 张奖券为一个开奖单位,设特等奖 1 个,一等奖 10 个,二等奖 50 个 .设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1 张奖券的中奖概率;(3)1 张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率 .解 (1)由题意可知 P(A)= ,11000P(B)= ,101000= 1100P(C)=
8、.501000=120故事件 A,B,C 的概率分别为 .11000,1100,120(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖 .设“1 张奖券中奖”为事件 M,则 M=A B C.A ,B,C 两两互斥,P (M)=P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)= .1+10+501000= 611000故 1 张奖券的中奖概率为 .611000(3)设“1 张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,故 P(N)=1-P(A B)=1- ,(11000+ 1100)=9891000即 1 张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率
9、为 .9891000二、能力提升10.有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下:11.5,15.5) 2;15.5,19.5) 4;19.5,23.5) 9;523.5,27.5) 18;27.5,31.5) 11;31.5,35.5) 12;35.5,39.5) 7;39.5,43.5) 3.根据样本的频率分布估计数据在31 .5,43.5)的概率约是( )A. B. C. D.16 13 12 23答案 B解析 根据所给的数据的分组及各组的频数得,满足题意的数据有 12+7+3=22(个),总的数据有 66 个,则数据在31 .5,43.5)的频率为 .2266=13由频率估
10、计概率,得所求概率 P= .1311.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取 100 个进行测试,统计结果如图:(1)估计甲品牌产品寿命小于 200 h 的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了 200 h,试估计该产品是甲品牌的概率 .解 (1)甲品牌产品寿命小于 200h 的频率为 ,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于5+20100=14200h 的概率为 .146(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于 200h 的两种品牌产品共有 75+70=145(个),其中甲品牌产品有 75 个,所以在样本中,
11、寿命不低于 200h 的产品是甲品牌的频率是 .据此估计已使用75145=1529了 200h 的该产品是甲品牌的概率为 .152912.袋中有除颜色外其他均相同的 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到黄球或绿球的概率也是 ,分别求得到黑球、黄球13 512 512和绿球的概率各是多少 .解 (方法一)从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为 A,B,C,D,则 P(A)= ,P(B C)=P(B)+P(C)= ,13 512P(C D)=P(C)+P(D)= ,512P(B C D)
12、=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1- ,13=23解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= ,14 16 14因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 .14,16,14(方法二)设红球有 n 个,则 ,即 n=4,即红球有 4 个 .n12=13又得到黑球或黄球的概率是 ,所以黑球和黄球共有 5 个 .512又总球数是 12,所以绿球有 12-4-5=3 个 .又得到黄球或绿球的概率也是 ,所以黄球和绿球共有 5 个,而绿球有 3 个,所以黄球有 5-3=2512个 .所以黑球有 12-4-3-2=3 个 .因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 .312=14,212=16,3
13、12=1413.(2018 北京,文 17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:7电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数 140 50 300 200 800 510好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 .(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取 1 部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化 .假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪
14、类电影的好评率增加 0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)解 (1)由题意知,样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50,故所求概率为 =0.025.502000(2)设“随机选取 1 部电影,这部电影没有获得好评”为事件 B.没有获得好评的电影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628(部) .由古典概型概率公式得 P(B)= =0.814.16282000(3)增加第五类电
15、影的好评率,减少第二类电影的好评率 .三、高考预测14.8某企业为了了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区间为:40,50),50,60),80,90),90,100.(1)求频率分布直方图中 a 的值;(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率;(3)从评分在40,60)的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人的评分都在40,50)的概率 .解 (1)因为(0 .004+a+0.018+0.0222+0.028)10=1,所以 a=0.006.(2)由所给频率分布直方图知
16、,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0 .022+0.018)10=0.4,所以该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有 500.00610=3(人),记为 A1,A2,A3;受访职工中评分在40,50)的有 500.00410=2(人),记为 B1,B2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是A 1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2,A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2,又因为所抽取 2 人的评分都在40,50)的结果有 1 种,即B 1,B2,故所求的概率为 .110
