1、1考点规范练 55 几何概型一、基础巩固1.若在区间 -1,4内取一个数 x,则 2x-2x24 的概率是 ( )A. B. C. D.12 13 25 35答案 D解析 因为 2x-2x24,所以 x2-x-20,即 -1 x2,所以所求概率为 .2-(-1)4-(-1)=352.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )A. B. C. D. 2 4 6 8答案 B解析 所求概率为 ,故选 B.S半圆S长方形 =12 1221= 43.(2018 湖南衡阳二模)“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭
2、赴岸,适与岸齐 .问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出2水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺 .若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )A. B. C. D.1213 113 314 213答案 B解析 设水深为 x 尺,根据勾股定理可得( x+1)2=x2+52,解得 x=12,则水深 12 尺,芦苇长 13 尺 .根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为 P= ,故选 B.1134.某人从甲地去乙地共走了 500 m,途经一条宽为
3、 x m 的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为 ,则河宽大约45为( )A.80 m B.50 m C.40 m D.100 m答案 D解析 由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为 500 =100(m).(1-45)5.已知在 ABC 中, ABC=60,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,则使 ABD 为钝角三角形的概率为( )A. B. C. D.16 13 12 23答案 C解析 如图,当 BE=1 时, AEB 为直角,则点 D 在线段 BE(不包含 B,E 点)上时, ABD 为钝角三
4、角形;当 BF=4 时, BAF 为直角,则点 D 在线段 CF(不包含 C,F 点)上时, ABD 为钝角三角形 .故 ABD 为钝角三角形的概率为 .1+26 =126.有一个长、宽分别为 50 m,30 m 的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同 .一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出 15 m,则工作人2员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )3A. B. C. D.34 38 316 12+332答案 B解析 如图,工作人员在池边巡视的长度为 160,工作人员能及时听到呼唤的长度为 30+30=60,故所求的概率为 .
5、60160=387.若在区间 -1,1上随机取一个数 x,则 sin 的值介于 - 之间的概率为( ) x4 12与 22A. B. C. D.14 13 23 56答案 D解析 - 1 x1, - . 4 x4 4由 - sin ,12 x4 22得 - , 6 x4 4则 - x1 .23故所求事件的概率为 .1-(-23)1-(-1)=568.记函数 f(x)= 的定义域为 D.在区间 -4,5上随机取一个数 x,则 x D 的概率是 .6+x-x2答案59解析 由 6+x-x20,即 x2-x-60 得 -2 x3,所以 D=-2,3-4,5.由几何概型的概率公式得x D 的概率 P=
6、 ,答案为 .3-(-2)5-(-4)=59 599.记集合 A=(x,y)|x2+y24和集合 B=(x,y)|x+y-20, x0, y0表示的平面区域分别为 1和 2,若在区域 1内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 2的概率为 . 4答案12解析 作圆 O:x2+y2=4,区域 1就是圆 O 内部(含边界),其面积为 4,区域 2就是图中 AOB 内部(含边界),其面积为 2,因此所求概率为 .24 = 1210.(2018 江西教学质量监测)在圆 C:(x-3)2+y2=3 上任取一点 P,则锐角 COP0,y0 内是增函数的概率为 . 12,+ )答案13解析 作出不等式组
7、 所对应的平面区域如图 AOB 区域,x+y-4 0,x0,y0 可知符合条件的点所构成的区域面积为S AOB= 44=8.12若 f(x)=ax2-2bx+3 在区间 内是增函数,12,+ )则 a0,- -2b2a =ba 12,即 则 A(0,4),B(4,0),a0,a-2b 0.由 a+b-4=0,a-2b=0 得 a=83,b=43.7即 C .(83,43)则使函数 f(x)=ax2-2bx+3 在区间 内为增函数的点( a,b)所构成的区域为 OBC,其面12,+ )积为 4 .12 43=83故所求的概率为 .838=1315.如图,在 Rt ABC 中, BAC=90,AB
8、=1,BC=2.在边 BC 上任取一点 M,则 AMB90的概率为 .答案14解析 如图,在 Rt ABC 中,作 AD BC,D 为垂足,由题意可得 BD= ,且点 M 在 BD 上时,12满足 AMB90,故所求概率为 .BDBC=122=1416.张先生订了一份报纸,送报人在早上 6:307:30 之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上 7:008:00 之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 . 答案78解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间,纵坐标 y 表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系 .因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型 .根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为.11-12121211 =788三、高考预测17.若不等式 x2+y22 所表示的平面区域为 M,不等式组 表示的平面区域为 N,现随机x-y 0,x+y 0,y 2x-6向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为 . 答案24解析 分别作出平面区域 M 和平面区域 N 如图所示,可知平面区域 M 与平面区域 N 重叠部分的面积为 ( )2= ,平面区域 N 的面积为14 2 232+ 36=12,12 12故所求的概率为 .1212=249
