1、- 1 -“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 2019 届高三 2 月联考 数 学（理）试 题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ,集合 ,则 （ 1,2346U1,2435AB()UAB）A. B. C. D.,5,61,62.欧拉公式 ( 是自然对数的底, 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉cosinieei发现的.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位当 时,就有 .根据上述背景知识试判断 表示的复数在复平面对应的10ie20183ie点位于（ ）
2、 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.向 量 在 正 方 形 网 格 中 的 位 置 如 图 所 示 .若向 量 与 共线,则实数 （ ）,abc abcA. B. C. D.21124. 若数列 是公比不为 1 的等比数列,且 ,则n 220804xd（ ）2017920123()aaA. B. C. D.42235.设 ,定义符号函数 ,则下列等式正确的是（ xR1,0sgn()x- 2 -）A. B. sing()sinxxsing()|sin|xxC. D. |6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合 A,从集合 A 中任取一个元素 a,则函数 y xa在
3、（0,+）上是增函数的概率为（ ）A. B.C. D.122523347. 已知函数 的导函数为 ,3()17fxbcx(,)abcR)(xf的解集为 ,若 的极小值等于 ,则 的值是（ ）0)(f2xf98aA. B. C. D.2813258.已知 的展开式中常数项为 ,则 的值为（ ）5xa40aA. B. C. D.22249.已知函数 在区间 上是增函数,且在区间 上存在唯一()sin0)fxw=（ 3p-0,p的 使得 ,则 的取值不可能为（ ）002fA. B. C. D. 13345110.直线 与双曲线 C： 的渐近线交于 A、 B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任意一4x
4、214xy点,若 (a、 b R,O 为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）BOAPA. B. C. D.21ab2821ab218ab11.如图，在正方体 ABCDABCD 中,平面 垂直于对角线 AC, 且平面 截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为 S,周长为 l,则（ ）A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值, l 为定值C.S 与 l 均为定值 D.S 与 l 均不为定值- 3 -12.设函数 , . 若当 时,不等式 32()41fxx恒成立,则实数 的取值范围是（ ）sin)fmA. B. C. D.1,242,2二.填空题：本大题共 4 小题,
5、每小题 5 分。13.实数 满足 ,则 的最大值是 _.,xy20y24zxy14.现有编号为、的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图 1、图 2、图 3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是_. 15.已知抛物线 ： 的焦点为 ,准线 与 轴的交点为 , 是抛物线 上C2(0)ypx=FlxAPC的点,且 轴.若以 为直径的圆截直线 所得的弦长为 ,则实数 的值为PFAAP1p_.16.设数列 的前 项和为 满足： ， 则nanS(1)na,2,n_.2019S三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必
6、须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17.(本题满分 12 分)如图, 四点共圆, 为钝角且 , ABCD、 、 、 A3sin5, ,10BAC65（1）求 ;D（2）设 , ,求 的值.sin(2)- 4 -18.(本题满分 12 分)已知 分别为椭圆 的左、右焦点.12,F2:1(0)4xyb（1）当 时,若 是椭圆 上一点,且 位于第一象限, ,求点 的坐bPP1254PFP标;（2）当椭圆的焦距为 2 时,若直线 与椭1:2lyxm圆 相交于 两点,且12(,)()AxyB,试求 的面积.122340xyAOB19. (本题满分 12
7、分)在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 的正方形,2平面 PAC底面 ABCD,PA=PC= . 2（1）求证： PB=PD;（2）若点 M,N 分别是棱 PA,PC 的中点,平面 DMN 与棱 PB 的交点 Q,则在线段 BC 上是否存在一点 H,使得 DQ PH,若存在,求 BH 的长,若不存在,请说明理由.- 5 -20. (本题满分 12 分)有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：甲公司 乙公司职位 A B C D 职位 A B C D月薪/元 6000 7000 8000 9000 月薪/元 5000 7000 9000 11000获得相应职位
8、概率 0.4 0.3 0.2 0.1获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1（1 根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;（2）某课外实习作业小组调查了 1000 名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：选择意愿人员结构40 岁以上（含 40 岁）男性40 岁以上（含 40 岁）女性40 岁以下男性40 岁以下女性选择甲公司 110 120 140 80选择乙公司 150 90 200 110若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的 K2的观测值为 k15.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计
9、学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？附： 22()(nadbcK21.(本题满分 12 分)已知 ,设 ,且 ,记 ;()lnfx12(,l)(,ln)AxBx12120x（1）设 ,其中 ,试求 的单调区间;(1gxfaRg2Pk0.050 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.879- 6 -（2）试判断弦 的斜率 与 的大小关系,并证明;ABABk0()fx（3）证明：当 时, .1x1lnxe（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本题满分 10 分)选修
10、44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ,其中 为参数,在以坐标xOyC23cosinxya=原点 为极点, 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点 的极坐标为 ,直线 的P24pl极坐标方程为 .sin420prq-+=（1）求直线 的直角坐标方程与曲线 的普通方程;l C（2）若 是曲线 上的动点, 为线段 的中点.求点 到直线 的距离的最大值.QCMPQMl23. (本题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲已知函数 = , = .(fx|21|xa()g3x- 7 -（1）当 =2 时,求不等式 的解集;a()fxg（2）设 ,且当 , )时, ,求 的取值范围.2
11、a1(fx)a- 8 -2019 届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三 2 月联考数学（理）参考答案一、选择题BCDCD CCCAB BD 12、 ，令 ，3()1()fxx3()gtt则 1212121()(1)0xgx而 是 R 上的单调递增函数，又是奇函数，于是 .故()gt 2sin4221sinmm此题是考察三次函数的对称中心.二、填空题：13.21 14.、 15. 16. 2201916、 ， ， 时，1n0Sn1112()Snn11 1()222nnn nSSS故2092019S三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17解：（1） ，且角 为钝角， .3sin
12、5A234cos1()5A在 中，由余弦定理得， ，BD2 2csDBBD- 9 -，解得 或 （舍） ，21680AD4AD20. 6 分4（2）连接 AC，则 与 互补，于是Bsin()sinABD在 中由正弦定理 12 分ABD25isiniAD其它方法酌情给分.18.解：（1）设 ，有 于(,)0)Pxy253411342,0xyxyxy是 6 分3(1,)2P（2） ，椭圆方程为 （7 分）联立直线得c2143xy（8 分）2 122214303xyxmxm 21221121214()()4()46()0xyxxxm得 满足 （9 分） （10 分）2m022(3)AB于是22211
13、4(3)32 1AOB mSd12 分- 10 -方法二：坐标计算 121AOBSxy将 两点坐标代入椭圆方程中有,2122211222221212112112143(34)()1096()(34)()() 3AOBAOBxyxyxyxyxyxyxySS此方法可以推广到斜率任意时均成立.19.解：(1)证明：记 AC BD=O，连结 PO，底面 ABCD 为正方形， OA=OC=OB=OD=2. PA=PC， PO AC，平面 PAC底面 ABCD=AC， PO 平面 PAC， PO底面 ABCD. BD 底面 ABCD， PO BD. PB=PD. 6 分(2)以 O 为坐标原点，射线 OB
14、， OC， OP 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向建立空xyz间直角坐标系如图所示，由（1）可知 OP=2.可得 P(0,0,2)， A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),可得， M(0,-1,1), N(0,1, 1). ， .(2,1)DM(0,2)N设平面 的法向量 n= ，D(,)xyz ， ，00,.z令 ，可得 n= .1x(,2)记 ，可得 ，,0PQB(2,0)Q- 11 -， =0，可得， ，解得 .(2,0)DQDQn24013=可得， .84(,)3记 ，可得 ，2,0BHtCt(2,0)Ht，若 DQ PH，则 ，(,)P
15、DQP，解得 .故 .12 分842)203t12t2B另：取 的中点 ，说明 均在平面 PBD 与平面 DMN 的交线上.OE,20.解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量 X， Y，则 E（ X）60000.4+70000.3+80000.2+90000.17000，E（ Y）50000.4+70000.3+90000.2+110000. 17000，D（ X）（60007000） 20.4+（70007000） 20.3+（80007000）20.2+（90007000） 20.11000 2，D（ Y）（50007000） 20.4+（70007000） 20.3+（90007
16、000）20.2+（110007000） 20.12000 2，则 E（ X） E（ Y） ， D（ X） D（ Y） ，4 分我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（只要言之有理即给 2 分）6 分（2）因为 k15.55135.024，根据表中对应值，得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是 0.025，7 分由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的 22 列联表如下：选择甲公司 选择乙公司 总计男 250 350 600女 200 200 400- 12 -总计 450 550 1000计算 K2 6.734，且 K2
17、6.7346.635，对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为 0.01，由 0.010.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大12 分21. 解：（1） （ ） ，()ln1)gxax11()gxa若 ，则 ，它为 上的增函数，0a0,若 ，则增区间为 ，减区间为 3 分(1,)a(1)a（2）21121(ln)AB xkxx令 ， ， ，而 .21tx()ltht2 2(1)() 0()thtt(1)h故在 单调递增，故 7 分(,)012ABkfxx（3）当 时，原不等式等价于 ，由（2）知 ，即证1,xln1xe1ln2x，转化为 .2e2()x令 ，
18、， ，故 也2()()xF)0Fe()0Fe(1,)x成立.12 分22. 解：（1）直线 的极坐标方程为 ，即 .lsin42prq-+=sincos80rq-+=由 ， ，可得直线 的直角坐标方程为 .cosxrq=sinyrl 80xy-将曲线 的参数方程 消去参数 ，得曲线 的普通方程为 .C23xcoia= C214xy+=5 分（2）设 ， .()3cos,2Qina02，- 13 -点 的极坐标 化为直角坐标为 .P2,4p()2,则 .()3cos1,inMa+点 到直线 的距离 .l3cosin82da-=si832pa-+=52当 ，即 时，等号成立.sin13pa-56p点 到直线 的距离的最大值为 .10 分Ml223.解：（1）当 = 时，不等式 化为 ，a2()fxg|1|2|30xx设函数 = ， = ，令 得y|21|2|3xxy45, 12, x0y原不等式解集是 . 5 分|03x（2）当 ， )时， = ，不等式 化为 ，x2a1()f1a()fxg13ax 对 ， )都成立，故 ，即 ，24 的取值范围为（-1， . 10 分a43- 13 -
