1、- 1 -湖南省长沙市第一中学 2015-2016 学年高一数学上学期 12 月月考试题（含解析）一、选择题1. 已知集合 A=-1,0,1,B=x|-1x1,则 AB=( )A. 0 B. -1,0C. 0,1 D. -1,0,1【答案】B【解析】试题分析：由题意可得 故 B 正确考点：集合的运算【易错点睛】本题主要考查集合的运算，属容易题已知集合 中的元素 的满足的条件为，所以 ，所以此题选项为 C，否则极易错选 D 选项2.lg lg 的值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】C【解析】;故选 C.3.下图中，能表示函数 y f(x)的图像的是( )A. B. C. D. 【答案】
2、D【解析】由函数的定义(对于非空数集中的任一个数 ,都有唯一的值 相对应),得选项 D 符合要求;故选 D.- 2 -4.下列函数是偶函数的是： （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】易知 为奇函数, 为偶函数, , 为非奇非偶函数;故选 B.5.函数 f(x) x 的零点个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A【解析】令 ，即 ，显然该方程无解，即函数 的零点个数为 0；故选 A.6.设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】对于 A、B、D 均可能出现 ，而对于 C
3、是正确的7.已知点 A(2，3)， B(3，2)，直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交点，设直线 l 的斜率为 k，则 k 的取值范围是( )A. (，4 B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，得 ，由图象，得 或 ；故选 A.- 3 -8.某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D. 1【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个直三棱锥，其中高为 1，底面是直角边为 1,2 的直角三角形，则该几何体的体积为 ；故选 B.9.函数 的图像大致是( )A. B. C. D. 【答案】C- 4 -【解析】因为 ，所以该函数
4、的图象如选项 C 所示；故选 C.10.如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下列结论中错误的是（ ）A. B. 平面C. 三棱锥 的体积为定值 D. 异面直线 所成的角为定值【答案】D【解析】在正方体中， 平面 平面 ，故 正确； 平面 平面 平面 平面 ，故 正确；的面积为定值， ，又 平面 为棱锥 的高， 三棱锥 的体积为定值，故 正确； 利用图形设异面直线所成的角为 ，当 与重合时 ；当 与 重合时 异面直线 所成角不是定值， 错误，- 5 -故选 D.二、填空题11.函数 的定义域为 _，值域为 _.【答案】 (1). (2). 【解析】若函数函数 有意义，则 ，
5、即 ，即函数 的定义域为 ；因为，所以 ，即该函数的值域为 .12.当 a 为任意实数时，直线 ax y13 a0 恒过定点_【答案】(3,1)【解析】将 化为 ，即该直线恒过点 .13.一条光线从点 射出，与 x 轴相较于点 ，经 x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为_【答案】【解析】由光学知识可得反射光线所在的直线过点 和 关于 轴的对称点 ，其直线方程为 ，即 .14.如图，二面角 l 的大小是 60，线段 AB ， B l， AB 与 l 所成的角为 30，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是_.【答案】【解析】过点 A 作 面 ， ，连接 ，易知 ，则 是二面角 的平面角，- 6
6、-即 ， 是 与 所成的角，即 ， 是 与平面 所成的角，在中，设 ，则 ， ， ，即 与平面 所成的角的正弦值为 .15.已知一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点，这些几何体是(写出所有正确结论的编号)_.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；每个面都是等腰三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.【答案】【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体，其棱长分别为 ，各表面和对角面都为矩形，即正确， 是有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面
7、体，即正确，是每个面都是等腰三角形的四面体，即正确， 是每个面都是直角三角形的四面体，即正确；故填.三、解答题：- 7 -16.已知函数 ，（） 证明 f（x）在1，+）上是增函数；（） 求 f（x）在1，4上的最大值及最小值【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：()利用函数的单调性的定义进行证明； ()利用前一步所证的函数的单调性确定其最值试题解析：() 设 ，且 ,则 ， ，即 在 上是增函数.() 由()可知 在 上是增函数当 时，当 时，综上所述， 在 上的最大值为 ，最小值为 .17.设集合 ， ，（1）若 ，求实数 的值；（2）若 ，求实数 的取值范围【答案】 （1）-1
8、 或-3；（2） 【解析】(1)因为 A=1,2,并且 ,所以 ,所以 ,- 8 -从而求出 a 的值，然后再一一验证是否满足 .(2)因为 ,所以可得 ,然后再讨论 和 两种情况，从方程的角度研究就是当 时 无实数根; 时， 有一个实数根和有两个实根两种情况.（1）有题可知： 将 2 带入集合 B 中得：解得：当 时，集合 符合题意；当 时，集合 ，符合题意综上所述：（2）若 AB=A，则 BA，A=1，2，B=或 B=1或2或1，2若 B=，则 =4（a1） 24（a 25）=248a0，解得 a3，若 B=1，则 ，即 ，不成立若 B=2，则 ，即 ，不成立，若 B=1，2则 ，即 ，此
9、时不成立，综上 a318.已知三角形三个顶点是 ， ， ，（1）求 边上的中线所在直线方程；（2）求 边上的高 所在直线方程【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：本题第（1）问，由中点公式得到中点 ，再求出 边上的中线所在直线的- 9 -斜率 ，然后由直线的点斜式方程求出 边上的中线所在直线方程；第（2）问，先由和 两点求出直线 BC 的斜率，由于 边与高 垂直，则由两直线垂直的结论求出高 所在直线的斜率，再结合点 ，由直线的点斜式方程求出高 所在直线方程。解： 的中点边上的中线所在的直线方程为，即,边上的高所在的直线的方程为即考点：直线的方程点评：本题考查直线方程的求法，是基础题解题时要
10、认真审题，注意两点式方程和点斜式方程的灵活运用19.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1 BC， A1AC60，A1A AC BC1， A1B .(1)求证：平面 A1BC平面 ACC1A1；(2)如果 D 为 AB 中点，求证： BC1平面 A1CD.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】试题分析：(1)先利用等边三角形和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明;(2)先利用平行四边形和三角形的中位线证得线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明.- 10 -试题解析：(1)因为 A1AC60， A1A AC1，所以 A1AC 为等边
11、三角形.所以 A1C1.因为 BC1， A1B ，所以 A1C2 BC2 A1B2.所以 A1CB90，即 A1C BC.因为 BC A1A， BC A1C， AA1 A1C A1，所以 BC平面 ACC1A1.因为 BC平面 A1BC，所以平面 A1BC平面 ACC1A1.(2)连接 AC1交 A1C 于点 O，连接 OD.因为 ACC1A1为平行四边形，所以 O 为 AC1的中点.因为 D 为 AB 的中点，所以 OD BC1.因为 OD平面 A1CD， BC1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD.20.如图，四棱锥 的底面 是矩形， 平面 ， ， .(1)求证： 平面 ；(2)求二
12、面角 余弦值的大小；(3)求点 到平面 的距离【答案】(1)略(2)q= 450- 11 -(3)【解析】试题分析：方法一：证：在 RtBAD 中，AD=2，BD= ， AB=2，ABCD 为正方形，因此 BDAC.PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，BDPA .又PAAC=A BD平面 PAC. 解：（2）由 PA面 ABCD，知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影，又 CDAD， CDPD，知PDA 为二面角 PCDB 的平面角. 又PA=AD，PDA=45 0. 二面角 PCDB 余弦值为 。（3）PA=AB=AD=2，PB=PD=BD= ，设 C 到面 PBD 的距离为 d
13、，由 ，有 ，即，得方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则 A（0，0，0） 、D（0，2，0） 、P（0，0，2）.2 分在 RtBAD 中，AD=2，BD= ，AB=2.B（2，0，0） 、C（2，2，0） ，- 12 - ，即 BDAP，BDAC，又 APAC=A，BD平面 PAC. 4 分解：（2）由（1）得 .设平面 PCD 的法向量为 ，则 ，即 ， 故平面 PCD 的法向量可取为PA平面 ABCD， 为平面 ABCD 的法向量. 7 分设二面角 PCDB 的大小为 q，依题意可得 . 9 分（3）由（）得 ，设平面 PBD 的法向量为 ，则 ，即 ，x=y=z，故可取为
14、. 11 分 ，C 到面 PBD 的距离为 13 分考点：本题考查直线与平面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；向量法求空间角； 点、线、面间的距离计算。点评：综合法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用二面角的向量求法： 若 AB、CD 分别是二面 的两个半平面内与棱 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量 与 的夹角； 设 分别是二面角 的两个面 ， 的法向量，则向量 的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小。- 13 -21.已知函数 (1) 当 时，函数
15、恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数 a，使得函数 在区间 上为增函数，并且 的最大值为 1如果存在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由【答案】(1) ；(2)存在， .【解析】试题分析：(1)首先根据对数函数的底数 ，得到 为减函数，最小值是 ，再根据对数函数的真数大于 0，得到 恒成立，在 范围内解不等式即可；(2)先看真数部分 是减函数，由已知“ 在区间 上为增函数”可得， 为减函数，此时得到 ；根据“ 的最大值为 1”，结合对数函数的真数大于 0，可知，解出 ，再判断它是不是在 的范围内，在这个范围内，那么得到的的值满足题目要求，不在这个范围内就说明满足题目要求的 是不存在的.试题解析：(1) ，设 ，则 为减函数， 时，t 最小值为 ， 2 分当 ， 恒有意义，即 时， 恒成立即 ；4 分又 ， 6 分(2)令 ，则 ； ， 函数 为减函数，又 在区间 上为增函数， 为减函数， ，8 分所以 时， 最小值为 ，此时 最大值为 ；9 分又 的最大值为 1，所以 ， 10 分 ，即 ， 所以 ，故这样的实数 a 存在 12 分考点：1.对数函数的定义及定义域；2.对数函数的单调性及其应用；3.对数函数的值域与最值；4.简单复合函数的单调性；5.解不等式- 14 - 15 -
