1、- 1 -湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三数学上学期第三次调研考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ，集合 ，全集为 UR，则 为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合 A，B，然后求出 A 的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】 ，又故选：D【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴
2、表示时要注意端点值的取舍2.设复数 的共轭复数为 ，且满足 ，复数 对应点在直线 上，则复数（i 为虚数单位）所在的象限为A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】设复数 z=a+bi（a，bR） ，由题意可得 ，从而得到 ，利用除法运算可得，从而得到所在的象限.- 2 -【详解】设复数 z=a+bi（a，bR）则 a-bi , ,复数 （i 为虚数单位）所在的象限为第三象限故选：C【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设 ，则， .3.已知下列两个命题p1：存在正数 a，使函数 在 R 上为偶函数；p2：函数 无零点，则在命题 和 中，真命题是A
3、. q1， q4 B. q2， q3 C. q1， q3 D. q2， q4【答案】A【解析】【分析】分别判断出 p，q 的真假，从而判断出复合命题的真假即可【详解】命题 ：当 a=1 时， 在 R 上为偶函数，故命题为真命题；命题 ： ， 显然是函数的零点，故命题为假命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题， 为假命题， 为假命题， 为真命题，故选：A【点睛】本题考查了复合命题真假的判定，考查函数的奇偶性问题以及三角函数的零点问题，是一道基础题- 3 -4.已知点 A（1，0） ，点 B（ x， y） （ x， yR） ，若 ，则 的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本
4、题是几何概型的求法，首先分别求出事件对应区域面积，利用面积比求概率【详解】点 A（1，0） ，点 B（ x， y） （ x， yR） ， 表示以（1,0 ）为圆心，1 为半径的圆面（包括边界） ， ，yx，如图所示：由几何概型的公式得到故选：D【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件
5、，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.- 4 -5.已知等比数列 满足 ， 且成等差数列若数列 满足（ nN*） ，且 ，则数列 的通项公式A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用题意可得 ，再利用累加法即可得到通项公式 .【详解】设等比数列的公比为 ，等比数列 满足 ， ， ，又 成等差数列 ，即 ， ， ，.故选：B【点睛】本题考查了由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等等，本题考查的是构造新等比数列的方法，注意新数列的首项与原数列首项的关系.6.已知 xR， yR，且 x， y 满足 ，若 的最大值为 a，最小值为 b，则
6、的值为A. 1 B. 3 C. 5 D. 8【答案】C- 5 -【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件 作出可行域如图，化目标函数 为 y= x+ ，由图可知，当直线 y= x+ 过（-2，0）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为 2；当直线 y= x+ 过（1，3）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为 7a=7，b=2，则 a+b=5故选：C【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应
7、的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.7.沈老师告知高三文数周考的附加题只有 6 名同学 A， B， C， D， E， F 尝试做了，并且这 6人中只有 1 人答对了同学甲猜测： D 或 E 答对了；同学乙猜测： C 不可能答对；同学丙猜测： A， B， F 当中必有 1 人答对了；同学丁猜测： D， E， F 都不可能答对若甲、乙、丙、丁中只有 1 人猜对，则此人是A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】D【解析】【分析】- 6 -分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果【
8、详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错；若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错；甲、乙、丙、丁四人中只有 1 人猜对，丁猜对故选：D【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题8.已知函数 ，把函数 的图象向右平移 个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数 的图象，当 时，方程 有两个不同的实根，则实数 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简函数为 ，由平移变换与伸缩变换得到 ，然后数形结合可得实数 的取值范围.【详解】函数 ，把函数
9、的图象向右平移 个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数当 时，方程 有两个不同的实根等价于函数 与 有两个不同交点，令 t ，即 与 有两个不同交点，结合图象可知：故选：D【点睛】函数零点的求解与判断- 7 -(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点9.已知点 M 为椭圆 上一点，椭圆的长轴长为 ，
10、离心率 ，左、右焦点分别为 F1、 F2，其中 B（3，2） ，则 的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆的方程，借助于椭圆的定义把|MF 1|+|MB|=2a（|MF 2MB|） ，结合三角形中的两边之差小于第三边得答案【详解】由题意可得： ，解得椭圆方程为：|MF1|+|MB|=|=2a（|MF 2MB|）2a|BF 2|=8 ，当且仅当 M，F 2，B 共线时取得最小值 故选：D【点睛】本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆定义，考查了等价转化思想方法，是中档题10.已知 ， ， ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】- 8
11、 -通过取特值的方法排除掉三个选项即可.【详解】知 ， ， ， ，当 时， ， ，排除 A，D；当 时， ， ， 排除 C；故选：B【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查排除法、对数性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题11.已知函数 ，若 的图象与 的图象有 n 个不同的交点，则（ x1 x2 x3 xn）（ y1 y2 y3 yn）A. n B. 2n C. n+2 D. 【答案】A【解析】【分析】通过 可知 y=f（x）关于点（1，0）对称，y=g（x）也关于点（1，0）对称，从而曲线 y=f（x）与 y=g（x）图象的交点关于点（1，0）对称，计算即
12、得结论【详解】即 ，函数 的图象关于点 中心对称，的图象也关于点 中心对称， x1 x2 x3 xn=n， y1 y2 y3 yn=0故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象的对称性的应用，属于中档题12.设双曲线 的右焦点为 F，两条渐近线分别为 l1、 l2，过 F 作平行于- 9 -l1的直线依次交双曲线 C 和直线 l2于点 A、 B，若 ， ，则双曲线离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线 l 的方程为： ，分别求出 ，又 ，从而得到双曲线离心率的取值范围.【详解】由题意可得：双曲线 C： 的渐近线方程为： ，设直线 l 的方程为： ，则直线 l 与
13、双曲线的另一条渐近线的交点为：B（ ） ，联立方程： 解得解得：故选：B【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得 的值，直接代入公式 求解；（2）列出关于 的齐次方程(或不等式)，然后根据 ，消去 后转化成关于 的方程(或不等式)求解二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知在 中， ，其中 D 为 BC 的中点， E 为 AC 的中点，则_- 10 -【答案】【解析】【分析】由题意可知 =2，又 ，从而得到结果.【详解】在 中， ， =22（ ）=2,.故答案为：【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义具体
14、应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用14.各条棱长均为 的四面体的体积为_【答案】【解析】【分析】分别求出四面体的底面积和高即可得到结果.【详解】在四面体 ABCD 中，过 A 作 AH平面 BCD 于点 H，则 H 为底面正三角形 BCD 的重心，AH= = ，SBCD = BDBC = = ，VABCD = = ，- 11 -故答案为：【点睛】本题考查正四面体体积的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.15.已知首项为 2 的正项数列 的前 n 项和为 ，且当 n2 时，3 2 3 若m 恒成立，则实数 m 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由 与 的
15、关系，利用作差法，求得 的通项公式，进而求得 ，将其代入不等式，由于是恒成立问题，所以由不等式的性质求出其左侧式子的最大值，即可求出 m 的范围.【详解】由题意可得： ，两式相减可得： ，因式分解可得： ，由与数列为正项数列，所以 ，故数列 为以 2 为首项，3 为公差的等差数列，所以 ，所以 恒成立，即其最大值小于等于 m.由于函数分母为指数型函数，增长速度较快，所以当 n 较大时，函数值越来越小， n 较小时存在最大值，经代入验证，当 时有最大值 ，所以 .【点睛】本题考查数列的通项以及前 n 项和的求法，结合函数的恒成立问题，考查数列的最值，可根据函数特点进行推理求得最值.16.已知定义
16、在 R 上的函数 满足 ， ，设 与图象的交点坐标为 ，若 ，则 的最小值为_【答案】2【解析】- 12 -【分析】由已知可得 f（x）和 h（x）的图象均关于（a，b）对称，故每一组对称点有横坐标和为2a，纵坐标和为 2b，进而可得 a+b=2，结合二次函数的图象和性质，可得答案【详解】f（2ax）=2bf（x） ，可知 f（x）的图象关于（a，b）对称，又h（x+a）= =b+ 设 g（x）= ，则 g（x）=g（x） ，即 g（x）为奇函数，y=h（x）的图象关于（a，b）对称，对于每一组对称点有横坐标和为 2a，纵坐标和为 2b， （x i+yi）=2am+2bm=4m，a+b=2，故
17、 a2+b2=a2+（2a） 2=2a24a+4=2（a1） 2+22当且仅当 a=b=1 时，a 2+b2取最小值 2故答案为：2【点睛】本题考查函数的对称性的应用，考查逻辑思维能力与数形结合的意识，属于中档题.三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ）17.已知 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 的面积为 ，且 （）若 ，求 的外接圆的半径；（）若 ， ， AD 为 BC 边上的中线，求 的周长 【答案】 （） ；（） 的周长为 【解析】【分析】
18、- 13 -（）利用正弦形式的面积公式可得 ，解得 ，结合同角关系得到，再利用正弦定理可得 的外接圆的半径；（）由（ ）结合正弦定理可得，利用余弦定理解得 ，从而得到 的周长【详解】 （） ,又 ，由正弦定理可得：2R= = ，解得：R= （） ， ， ，即 ，由余弦定理可得： 的周长为 5+2+【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角” ，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18.为了改善市民的生活环境，长沙某大型工业城市决
19、定对长沙市的 1 万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分 100 分，发现长沙市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布 N（50，16 2） ，分值越低，说明污染越严重；如果分值在50，60内，可以认为该企业治污水平基本达标（）如图为长沙市的某工业区所有被调査的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于 18 分的化工企业每月对周边
20、造成的直接损失约为 10 万元，标准分在18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接- 14 -损失约为 4 万元长沙市决定关停 80的标准分低于 18 分的化工企业和 60的标准分在18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量 ，则 ， ，）【答案】 （）基本达标；（）5092 万元【解析】【分析】（ ）利用频率分布直方图计算平均数；（）利用正态分布分别计算标准分在18，34）内的化工企业与标准分低于 18 分的化工企业的概率，从而得到结果.【详解】 （）该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值：，故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；（）化工企业
21、污染情况标准分基本服从正态分布 N（50，16 2）标准分在18，34）内的概率，60的标准分在18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失为:万元，标准分低于 18 分的概率， ， 万元故长沙市决定关停 80的标准分低于 18 分的化工企业和 60的标准分在18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了正态分布的应用问题，是中档题19.如图， 是以 为直径的半圆上异于 、 的点，矩形 所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且 - 15 -（）求证： ；（）设平面 与半圆弧的另一个交点为 试证： ；若 ，求三棱锥 的体积【答案】 （）先证 面 （）先证
22、 平面 .【解析】试题分析：（）平面 平面 ，面 面 ， ， 面 ， 面 又 面 ， 在以 为直径的半圆上， ，又 ， 面 ， 面 又 面 ， （） ， 面 ， 面 ， 平面 又 面 ，平面 平面 ， .取 中点 ， 的中点 ，在 中， ， ， （）已证得 面 ，又已知 ， 平面 故 考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定- 16 -点评：本题主要考查线面垂直与线面平行的证明以及三棱锥体积的计算是对立体几何知识的综合考查，难度不大，属于中档题20.折纸是一项艺术，可以折出很多数学图形将一张圆形纸片放在平面直角坐标系中，圆心 B（1，0） ，半径为 4，圆内一点
23、 A 为抛物线 的焦点若每次将纸片折起一角，使折起部分的圆弧的一点 始终与点 A 重合，将纸展平，得到一条折痕，设折痕与线段 B 的交点为 P（）将纸片展平后，求点 P 的轨迹 C 的方程；（）已知过点 A 的直线 l 与轨迹 C 交于 R， S 两点，当 l 无论如何变动，在 AB 所在直线上存在一点 T，使得 所在直线一定经过原点，求点 T 的坐标【答案】 （）轨迹 C 的方程为 ；（）点 T 的坐标为（ 4，0） 【解析】【分析】（）依题意知 PA=P ，P 的轨迹是以 B、A 为焦点，长轴长为 4，焦距为 2 的椭圆，由题意能求出其椭圆方程；（）题意等价于在 AB 所在直线上存在一点
24、T，使得 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称,当直线 l 垂直于 x 轴时，x 轴上任意一点都满足 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，当直线 l 不垂直于 x 轴时，假设存在 T（t，0）满足条件，设 l 的方程为 y=k（x1） ，R（x 1，y 1） ，S（x 2，y 2） ，联立 ，得（3+4k 2）x 28k 2x+4k212=0，由此利用根与系数的关系、根的判别式、直线关于 x 轴对称，结合已知条件能求出存在 T（4，0） ，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称【详解】（）依题意：折痕所在直线 m 为线段 的垂直平分线，PA=P ，- 17
25、 -PB+PA= PB + P =42，P 的轨迹是以 B、A 为焦点，长轴长为 4，焦距为 2 的椭圆b 2=3椭圆方程为 （）由题意可知：在 AB 所在直线上存在一点 T，使得 所在直线一定经过原点等价于在 AB 所在直线上存在一点 T，使得 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称当直线 l 垂直于 x 轴时，x 轴上任意一点都满足 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，当直线 l 不垂直于 x 轴时，假设存在 T（t，0）满足条件，设 l 的方程为 y=k（x1） ，R（x 1，y 1） ，S（x 2，y 2） ，联立 ，得（3+4k 2）x 28k 2x+4k212=0，由根与系
26、数的关系得 ，其中0，TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称， =0，R，S 两点在直线 y=k（x1）上，y 1=k（x 11） ，y 2=k（x 21） ，代入，得：= =0，2x 1x2（t+1） （x 1+x2）+2t=0，将代入，得 = =0， 要使得与 k 的取值无关，则 t=4，综上所述，存在 T（4，0） ，使得当 l 变化时，总有 TS 与 TR 所在直线关于 x 轴对称，即在AB 所在直线上存在一点 T，使得 所在直线一定经过原点.【点睛】本题考查椭圆的定义、韦达定理、根的判别式、直线方程等基础知识，考查推理论- 18 -证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方
27、程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题21.已知函数 ，又函数 的两个极值点为满足 ； 恰为 的零点（）当 时，求 的单调区间；（）当 时，求证： 【答案】 （）函数 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是 （）证明略【解析】【分析】（）求出 ，解导不等式可得 的单调区间；（）先确定 0 ，再利用 y= = 2lnt（0t ） ，即可求 y= 的最小值，从而得证【详解】 （）又令 ，解得 ，令 ，解得 0x 或 x函数 的单调递减区间是 和 ，单调递增区间是 ；（） ， ,- 19 -由题意 ， ，解得 0 ，当 时，即证：， ,两式相减得：2ln （x 1x 2） （x 1+x2）+ （x
28、 1x 2）=0， （0t ） ，记 ，则 ， 在（0， 递减， 的最小值为即 ，得证.【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查证明不等式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） ，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ， 的公共点为.（）求直线 的斜率；（）若点 分别为曲线 ， 上的动点，当 取最大值时，求四边形 的面积.【答案】 （）2；（） 【解析】【分析】（）消去参数 得曲线 C1的普通方程，将曲线 C2化为直角坐标方程，两式作差得直线 AB的方程，则直线 AB 的斜率可求
29、；- 20 -（）由 C1方程可知曲线是以 C1（0，1）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2方程可知曲线是以C2（2，0）为圆心，半径为 2 的圆，又|CD|CC 1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取最大值时，圆心 C1，C 2在直线 AB 上，进一步求出直线 CD（即直线 C1C2）的方程，再求出 O 到直线 CD 的距离，则四边形 ACBD 的面积可求【详解】 （）消去参数 得曲线 C1的普通方程 C1：x 2+y22y=0（1）将曲线 C2：=4cos 化为直角坐标方程得 x2+y24x=0（2）由（1）（2）化简得 y=2x，即为直线 AB 的方程，故直线 AB 的斜率为
30、2；（）由 C1：x 2+y22y=0 知曲线 C1是以 C1（0，1）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2：x 2+y24x=0 知曲线 C2：是以 C2（2，0）为圆心，半径为 2 的圆|CD|CC 1|+|C1C2|+|DC2|，当|CD|取最大值时，圆心 C1，C 2在直线 CD 上，直线 CD（即直线 C1C2）的方程为：2x+y=2O 到直线 CD 的距离为 ，即|AB|=又此时|CD|=|C 1C2|+1+2=3+ ，四边形 ACBD 的面积 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题23.已知函数 ，若不等式 的解集为 （）求 的值；（）若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围【答案】 （）2；（） 【解析】【分析】（）运用公式法解绝对值不等式；（）问题转化为 的最小值小于 ，求出 k 的范围即可【详解】 （）当 时，显然不适合题意；当 a0 时， ，解得 ，又不等式 的解集为 - 21 - ，解得（）由（）知 ，即又若存在 ，使不等式 成立，则 的最小值小于即【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查存在性问题要求学生熟练掌握绝对值三角不等式- 22 -
