1、- 1 -2018 年重庆一中高 2019 级高三上期 12 月月考数学试题卷（理科）一、选择题.（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知 ， ，则 =( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得集合 A,B，然后结合集合的运算法则求解集合运算即可.【详解】求解函数 的定义域可得： ，即求解函数 的值域可得 ，则 ，据此可得 = .本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的混合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若 且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合不等式的性质逐一考查所给的不等式是否正确即可.【详解】逐一考查所给的选项：当 时， ，选项 A 错误；当 时， ，选项 B 错误，当 时， ，且 ，选项 C 错误；由不等式的性质可知 ， ，选项 D 正确 .本题选择 D 选项.- 2 -【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 =( ).A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合正态分布的对称性求解 的值即可.【详解】由正态分布的性质可知正态分布 的对称轴为 ，则 ，故 .本题选择 C 选项
3、.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P( X )， P( 2 X 2 )， P( 3 X 3 )的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.4.已知 且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解 的值即可.【详解】由题意可得： ，由于 ，故 ，据此可知 .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.下列函数中是奇函数且在区间 上单调的是（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合函
4、数的解析式逐一考查函数的性质即可.【详解】逐一考查所给函数的性质：A. ，函数为奇函数且 时， ，当 时， ，当 时，据此可知函数在区间 不具有单调性，不合题意；B. ，函数为奇函数，由于函数为周期函数，故函数在 上不具有单调性；C. ，易知函数的定义域为 ，且 ，故函数为奇函数，由于函数 在 上为增函数，由复合函数的单调性可知函数在区间 上单调递增，满足题意；D. ，该函数为偶函数，不合题意；本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列说法中错误的是（ ）A. 在分层抽样中也可能用到简单随机抽样与系统抽样；B. 从茎
5、叶图中可以看到原始数据，没有任何信息损失；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的值越接近于 1;D. 若随机变量 ， ， ，则 【答案】C- 4 -【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：A. 在分层抽样中对每层的抽样可能用到简单随机抽样与系统抽样,原命题正确；B. 从茎叶图中可以看到所有的原始数据，没有任何信息损失,原命题正确；C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近于 1,原命题错误;D. 若随机变量 ， ， ，则 ,据此可得: ，原命题正确本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查分层抽样的方法，茎叶图的理解，随机变
6、量的相关性，二项分布的均值方差公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知直线 与圆 ： 相交于 两点，若三角形 为等腰直角三角形，则 （ ）A. 或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意结合几何性质首先确定圆心到直线的距离，据此得到关于 m 的方程，解方程即可求得实数 m 的值.【详解】圆 C 的方程即： ，则圆心坐标为 ，圆的半径为 ，易知等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为点 C，故圆心到直线的距离为 ，结合点到直线距离公式有： ，解得： 或 .本题选择 B 选项.【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若
7、方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法- 5 -8.已知二项式 的展开式中 的系数是 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先确定 展开式的通项公式，然后结合题意得到关于 a 的方程，求解方程即可求得最终结果.【详解】 展开式的通项公式为： ，令 可得 ，令 可得 ，结合题意有： ，据此可得： .本题选择 D 选项.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r的隐含条件，即 n， r 均为非负整数，且 n r，如常数项指数为
8、零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解9.从区间 中任取一个值 ，则函数 在 上是增函数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先由函数的单调性求得实数 a 的取值范围，然后结合几何概型计算公式求解概率值即可.【详解】由函数的解析式：为增函数，则 ，为增函数，则 ，- 6 -且当 时，有： ，即 ，解得 ，综上可得，若函数 在 上是增函数，则 ，由题意结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为： .本题选择 A 选项.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，几何概型计算公式等
9、知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.数列 前 项和为 ， ， ， ，若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先由递推关系确定数列的特征，然后结合数列的通项公式求解实数 k 的值即可.【详解】由题意有：当 时， ，两式作差可得： ，由于 ，故 ，即数列的奇数项、偶数项分别构成一个公差为 3 的等差数列，据此可得 ，则数列的通项公式为： ， ，加 2 后能被 3 整除，则 .本题选择 C 选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳
10、猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项- 7 -11.已知 是双曲线 的右支上一点， ， 分别为双曲线的左、右顶点， 分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的离心率为 ,有下列四个命题中真命题个数为（ ）个双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为 ；若 ，则 的最大值为 ； 的内切圆的圆心横坐标为 ； 若直线 的斜率为 ，则 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合双曲线的性质和定义逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给命题的真假：由双曲线焦点弦公式： 可得：双曲线所有过焦点的弦中最短弦长度为 .说法错误.对于
11、,若 ,则由双曲线的定义可得 .，,故有 ,即离心率的最大值为 ，故不正确.对于,设 PF1F2的内切圆与 PF1和 PF2的切点分别为 M， N，与 x 轴的切点为 K，由双曲线的定义及圆的切线性质可得| MF1|NF2|=2a=|KF1|KF2|，又| KF1|+|KF2|=2c,| KF1|=a+c,故 K 为双曲线的右顶点,又 PF1F2的内切圆的圆心在切点 K的正上方,故 PF1F2的内切圆的圆心横坐标为 a，故正确.对于若直线 PF1的斜率为 k,则由题意可得 ， ，故正确.综上可得，四个命题中真命题个数为 2 个.- 8 -本题选择 B 选项.【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其
12、应用，双曲线的焦点弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数 设两曲线 有公共点，且在该点处的切线相同，则 时，实数 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：依题意： ， ，因为两曲线 ， 有公共点，设为，所以 ，因为 ，所以 ，因此构造函数 ，由 ，当 时， 即 单调递增；当时， 即 单调递减，所以 即为实数 的最大值.考点：函数的导数与最值.二、填空题.（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知正实数 是 的等比中项，则圆锥曲线 1 的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意首先求得 m
13、的值，然后求解圆锥曲线的离心率即可.【详解】由题意可得： ，则圆锥曲线方程为： ，- 9 -则 .【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 a2 c2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)14.若实数 满足约束条件 则 的最大值是 _.【答案】8【解析】【分析】由题意首先确定可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.【详解】绘制
14、不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程可得点 A 的坐标为： ，据此可知目标函数的最大值为： .【点睛】求线性目标函数z ax by(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最大，在y 轴截距最小时， z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时， z 值最小，- 10 -在 y 轴上截距最小时， z 值最大.15.袋中有 个红球， 个黑球和 个白球，从中任取 个球，则其中三种颜色的球都有的概率是_【答案】【解析】【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式求解满足题意的概
15、率值即可.【详解】由题意可得，所求概率为：.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.16.已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，且 ，则（ ）的取值范围为 _【答案】【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件和向量绝对值不等式的性质求解其取值范围即可.【详解】令 ，则 ，设向量 的起点均为坐标原点，终点分别为 ，易知 三点共线，如图所示，不妨设 ，易知 ， ，由向量的绝对值不等式的性质可得： ，
16、注意到 ，且 ，故 ，- 11 -即 （ ）的取值范围为 .【点睛】本题主要考查向量中三点共线的充分必要条件，数形结合的数学思想，向量不等式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题.（共 70 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17.已知函数 (1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；(2)在 中，A，B，C 的对边分别为 a,b,c, ，求 的值【答案】(1) 函数的单减区间为 ;(2) .【解析】试题分析：(1)整理函数的解析式为 ，结合三角函数的性质可得 ，单调减区间为(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得 .试题解析：(1)周期为
17、 - 12 -因为 所以所以函数的单调减区间为 （2）因为 ，所以 所以 ， (1) 又因为 ，所以 (2) 由（1） ， （2）可得18.已知数列 中 ， ，（1）求数列 的通项公式；（2）求证：【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)首先将递推关系式整理变形，然后结合等比数列通项公式确定数列的通项公式即可；(2)由题意结合(1)中求得的通项公式放缩证明题中的不等式即可.【详解】 （1）由已知 （2）左边=不等式成立【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写- 13 -出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前
18、几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过 100 元的人员中随机抽取了 100 名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求 的值；（2）分析人员对 100 名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于 300 元的男性有 20人，低于 300 元的男性有 25 人，根据统计数据完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额 与年龄 进一步分析，发
19、现他们线性相关，得到回归方程 .已知 100 名使用者的平均年龄为 38 岁，试判断一名年龄为 25 岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】 （1） （2）有 的把握（3）395【解析】分析：（1）根据已知列关于 m,n 的方程组解之即得.(2)先完成 22 列联表，再计算 的值- 14 -判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求 b 的值.详解：（1）由频率分布直方图可知， ，由中间三组的人数成等差数列可知 ，可解得（2）周平均消费不低于 300 元的频率为 ，因此 100 人中，周平均消费不低于 300 元的人数为 人.所以 列联表为男性 女
20、性 合计消费金额30020 40 60消费金额30025 15 40合计 45 55 100所以有 的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意 ，.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中 代表第 个矩形的横边的中点对应的数， 代表第 个矩形的面积.20.已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在椭圆 上滑动，若面积的最大值是 且有且仅有 2 个不同的点 使得 为直角三角形- 15 -（1）求椭圆 的方程；（2）过 的直线 与椭圆 交于点 ,与 轴交
21、于点 。设 , ,求证：为定值，并求该定值【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合椭圆的对称性确定 a,b,c 的值即可确定椭圆方程；(2)联立直线方程与椭圆方程，求得 的表达式，然后结合韦达定理即可证得题中的结论.【详解】 （1）由对称性知， 在短轴端点时， 为 且 = ,且 ， ， ，椭圆方程为： .（2）显然 斜率不为 ，设直线 ，联立方程组得：设 ， 令 = 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：- 16 -(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系
22、、弦长、斜率、三角形的面积等问题21.已知函数 （1）当 （ 为自然常数）时，求函数 的单调区间；（2）讨论 的零点个数【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)首先确定 的解析式，然后结合其导函数利用切线放缩法确定导函数的符号即可确定函数的单调区间；(2)分类讨论 和 两种情况确定函数 的零点个数即可.【详解】 （1）当 时， ，易证 ，在定义域 上单调递减，无单调递增区间；（2）先考虑当 时函数 的零点个数.当 时， 为减函数，有一个零点；当 时，由 ，设 ， 令 ，- 17 -时， 单调递增， 时， 单调递减，且 ，当 时 恒成立.1.当 即 时，当 时函数无零点， 当
23、时函数有一个零点；2.当 即 时，当 时函数有一个零点， 当 时函数有二个零点；3.当 即 时，当 时函数有两个零点，当 时函数有三个零点；再考虑 的情形，若 ，则 ，同上可知：1.当 即 时，函数有一个零点；2.当 即 时，函数有两个零点；3.当 即 时，函数有三个零点；综上可知：当 时，函数有一个零点；当 或 时，函数有两个零点；当 时，函数有一个零点.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方- 18 -向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行
24、： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用22.已知曲线 C 在平面直角坐标系 xOy 下的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线 C 的普通方程及极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 射线 OT： 与曲线 C 交于点 A，与直线l 交于点 B，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）12.【解析】【分析】(1)首先将参数方程转化为普通方程，然后将直角坐标转化
25、为极坐标方程即可；(2)首先求得交点的极坐标，然后结合极坐标的几何意义求解 的值即可.【详解】 （1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 得曲线 的普通方程为 ，又 ， ，曲线 的极坐标方程为 . （2）由 ，故射线 与曲线 的交点 的极坐标为 ；- 19 -由 ，故射线 与直线 的交点 的极坐标为 ，. =12.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程与普通方程的互化等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数 (1)解不等式 ；(2)已知 ，若关于 x 的不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；（2）由绝对值三角不等式的性质可得 的最大值是 ，由均值不等式的性质可知的最小值为 .则 ，求解绝对值不等式即可确定实数 的取值范围.【详解】解：（1）不等式 等价于 ，即 或或 . 解得 或 或 ，所以不等式的解集为 .（2）因为 ，所以 的最大值是 ，又 ，于是 ， 的最小值为 .要使 的恒成立，则 ，解此不等式得 .所以实数 的取值范围是 .- 20 -
