1、11.1.2 基本不等式学习目标1.了解两个正数的算术平均与几何平均2理解定理 1 和定理 2.3掌握利用基本不等式求一些函数的最值及解决实际的应用问题.一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1 函数 f(x) x 的最小值是 2 吗？1x探究 2 在基本不等式 中，为什么要求 a0， b0?a b2 ab探究 3 利用 求最值的条件是怎样的？a b2 ab探究 4 你能给出基本不等式的几何解释吗？名师点拨1.常用基本不等式(1)(a b)20 a2 b22 ab(a， bR)(2)均值不等式 (a， bR )a b2 ab这两个不等式都是在
2、a b 时，等号成立而(1)只要求 a， bR，而公式(2)条件加强了，要求 a0， b0.注意区别(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式：a 2( a0，当且仅当 a1 时取等号)1a2当 ab0 时， 2(当且仅当 a b 时取等号)ba aba2 b2 2 ab(a， bR，当且仅当 a b 时，等号成立 )a b222均值不等式的应用应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值(1)x， yR ，且 xy m(m 为定值)，那么当 x y 时， x y 有最小值 2 ；m(2)x， yR ，且 x y n(n 为定值)，那么当 x y 时， xy 有最大值 .n24在应用均值不等式求最
3、值时，应强调“一正、二定、三相等” 否则会得出错误的结果.例 1 已知 a， b， c 为正实数，求证：(1) 8；（ a b） （ b c） （ c a）abc(2)a b c .ab bc ca变式练习1设 a， b， cR ，求证： (a b c)a2 b2 b2 c2 c2 a2 2例 2 已知 x0， y0，且 1，求 x y 的最小值1x 9y变式练习32求函数 f(x) (x0)的最大值及此时 x 的值 2x2 x 3x例 3 某单 位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米 长造价 40 元，两侧用砖墙，每米长造价 45 元
4、，顶部每平方米造价20 元仓库底面积 S 的 最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？变式练习3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉 6 吨，每吨面粉的价格为 1 800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购买面粉每次需支付运费 900 元(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使 平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210 吨时，其价格可享受 9 折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由4参考答案探究 1【提示】 函数 f(x) x 的最小值不是 2.1x当 x0 时， f(x)
5、 x 2 2；1x x1x(当且仅当 x1 时取等号)当 x0 时， f(x) x 1()x2.1x(当且仅当 x1 时取等号)显然 f(x)无最小值，也无最大值.探究 2【提示】 对于不等式 ，如果 a， b 中有两个或一个为 0，虽然不等式a b2 ab仍成立，但是研究的意义不大，当 a， b 都为负数时，不等式不成立；当 a， b 中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义探究 3【提示】 利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等” ，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值； (3)各项或各因式能取得相等的值探究 4【提示】 如图，以 a b 为直径的圆中， DC ，且 D
6、C AB.ab因为 CD 为圆的半弦， OD 为圆的半径，长为 ，根据半弦长不大于半径，得不等式a b2 .显然，上述不等式当且仅当点 C 与圆心重合，即当 a b 时，等号成立因此，aba b2基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高例 1 精讲详析 本题考查基本不等式在证明不等式中的应用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a b， b c， c a 分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可5(1) a， b， c 为正实数， a b2 0， b c2 0， c a2 0，ab bc ca由 上面三式相乘可得( a b)(b c)(c a)8 8
7、 abc.ab bc ca即 8.（ a b） （ b c） （ c a）abc(2) a， b， c 为正实数， a b2 ， b c2 ，ab bcc a2 ，由上面三式相加可得ca(a b)( b c)( c a)2 2 2 .ab bc ca即 a b c .ab bc ca变式练习1证明： a2 b22 ab，2( a2 b2)( a b)2.又 a， b， cR ， |a b| (a b)a2 b222 22同理： (b c)，b2 c222 (a c)三式相加，c2 a222得 (a b c)a2 b2 b2 c2 c2 a2 2当且仅当 a b c 时取等号.例 2 精讲详析
8、本题考查基本不等 式的应用，解答本题可灵活使用“1”的代换或对条件进行必要的变形，然后再利用基本不等式求得和的最小值 x0， y0， 1，1x 9y x y (x y) 1061016.(1x 9y) yx 9xy当且仅当 ，又 1，yx 9xy 1x 9y即 x4， y12 时，上式取等号故当 x4， y12 时，( x y)min16.变式练习2解： f(x)1 .(2x3x)6因为 x0，所以 2x 2 ，3x 6得(2 x )2 ，因此 f(x)12 ，3x 6 6当且仅当 2x ，即 x2 时，3x 32式子中的等号成立由于 x0，因而 x 时，等号成立62因此 f(x)max12
9、，此时 x .662例 3 精讲详析 本题考查基本不等式的应用，解答此题需要设出铁栅和砖墙的长 ，然后根据投资费用列出关系式，借助基本不等式即可解决设铁栅长为 x m，一堵砖墙长为 y m，则有 S xy，由题意，得40x245 y20 xy3 200，由基本不等式，得 3 2002 20 xy40x90y120 20 xy120 20 S，xy S S6 160，S即( 16)( 10)0.S S 160，S 100，从而 S100.S因此 S 的最大允许值是 100 m2，取得此最大值的条件是 40x90 y，而 xy100，由此求得 x15，即铁栅的长应是 15 m.变式练习3解：(1)
10、设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为36x6( x1)6( x2)619 x(x1)，设平均每天所支付的总费用为 y1元，则y1 1 8006 9 x10 8092 10 80910 9x（ x 1） 900x 900x 900x9x989，当且仅当 9x ，900x(2)因为不少于 210 吨，每天用面粉 6 吨，所以至少每隔 35 天购买一次面粉，设该厂7利用此优惠条件后，每隔 x(x35)天购买一次面粉平均每天支付的总费用为 y2元，则y2 9x(x1)90061 8000.91x 9 x9 729( x35)，900x令 f(x) x (x35)， x2 x135，100x则 f(x1) f(x2) (x1100x1) (x2 100x2) .（ x2 x1） （ 100 x1x2）x1x2 x2 x135， x2 x10， x1x20，100 x1x20, f(x1) f(x2)0， f(x1) f(x2)，即 f(x) x100x当 x35 时为增函数，当 x35 时， f(x)有最小值，此时 y210 069.710 989.该厂应接受此优惠条件
