1、13.1 二维形式的柯 西不等式预习案一、预习目标及范围1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题二、预习要点教材整理 二维形式的柯西不 等式内容 等号成立的条件代数形式若 a， b， c， d 都是实数，则(a2 b2)(c2 d2) 当且仅当 时，等号成立向量形式设 ， 是两个向量，则| | | |当且仅当 ，或，等号成立三角形式设 x1， y1， x2， y2R，那么 x21 y21 x2 y2 当且仅当时，等号成立三、预习检测1.已知 x y1，那么 2x23 y2的最小值是 ( )A. B. C. D.56 65 2536 36252已知
2、x， y0， 的最小值为 4，则 xy_.(11x)(1 1y)3已知 x， y， a， bR ，且 1，求 x y 的最小值ax by探究案一 、合作探究题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例 1 已知 p， q 均为正数，且 p3 q3 2.求证： p q2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量再练一题1若本例的条件中，把“ p3 q32”改为“ p2 q22” ，试判断结论是否仍然成立？2题型二、运用柯西不等式求最值例 2 若 2x3 y1，求 4x29 y2的最小值【精彩点拨】 由 2x3 y1 以及 4x29 y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(121
3、 2)作为一个因式而解决问题再练一题2若 3x4 y2，试求 x2 y2的最小值及最小值点.题型三、二维柯西不等式代数形式的应用例 3 已知|3 x4 y|5，求证： x2 y21.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明再练一题3 设 a， bR 且 a b2.求证： 2.a22 a b22 b二、随堂检测1设 x， yR，且 2x3 y13，则 x2 y2的最小值为( )A. B169 C13 D.0132已知 a， bR ，且 a b1，则( )2的最大值是( )4a 1 4b 1A2 B. C6 D.126 63平面向量 a， b 中，若 a(4，3
4、)，| b|1，且 ab5，则向量 b_ _.3参考答案预习检测：1.【解析】 2 x23 y2(2 x23 y2) (12 13) 65 (x y)2 .65(2x22 3y33)2 65 65【答案】 B2.【解析】 (11x)(1 1y) (11 1xy)2 ，(1 1xy)2 4.(1 1xy)2 又 0，xy 1， xy1.xy【答案】 13.【解】 构造两组实数 ， ； ， .x yax by x， y， a， bR ， 1，ax by x y( )2( )2 ( )2，x y (ax)2 (by)2 a b当且仅当 ，即 时取等号，( x y)min( )2.xax y by xy ab a b随堂检测：1.【 解析】 (2 x3 y)2(2 23 2)(x2 y2)， x2 y21 3.【答案】 C2.【解析】 ( )24a 1 4b 1(1 1 )24a 1 4b 1(1 21 2)(4a1 4 b1)24( a b)22(412)12，当且仅当 ，4b 1 4a 1即 a b 时等号成立故选 D.12【答案】 D43.【解析】 | a| 224+3（ -） 5，且 | b|1， ab| a|b|，因此， b 与 a 共线，且方向相同， b .(45， 35)【答案】 (45， 35)
