1、12.3 二维形式的柯西不等式学习目标1认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义2通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题 一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论 ，纠正共性问题。二、合作探究探究 1在二维形式的柯西不等式 的代数形式中，取等号的条件可以写成 吗？ab cd探究 2用柯西不等式求最值时的关键是什么？名师点拨 ：1.二维形式的柯西不等式(1)定理 1：不等式中等号成立的条件是 ad bc.这时我们称( a， b)，( c， d)成比例如果 c0， d0，那么 ad bc ，若 cd0，我们分情况说明： c d0，原ac bd不等式两边都为 0，显然成立；当 c0
2、， d0 时，原不等式化为( a2 b2)d2 b2d2，是显然成立的；当 c0， d0 时，道理和一样，也是成立的所以当 cd0 时，不等式也成立(2)由二维形式的柯西不等式推 导出两个非常有用的不等式：对于任何实数 a， b， c， d，以下不等式成立： | ac bd|；a2 b2 c2 d2 | ac| bd|.a2 b2 c2 d22对二维柯西不等式的认识二维柯西不等式与中学数学中的代数、几何、三角等各方面都有联系，熟悉这些联系能更本质的把握不等式，并更自觉地应用 它(1)由代数恒等式( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2( ad bc)2，把非负数( ad bc)2舍去，
3、2易得不等式( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2.(2)如图，平面内点 B(c， d)到直线 ax by0 的距离 BH 不大于线段 OB 的长，因此有 .即( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2.|ac bd|a2 b2 c2 d2(3)如图所示，构造 AOB，点 A(a， b)， B(c， d)，在 AOB 中应用余弦定理可得，cos AOBOA2 OB2 AB22OAOB2 22()()()abcdacbd .ac bda2 b2c2 d2|cos AOB|1，( ac bd)2( a2 b2)(c2 d2)3巧用柯西不等式求最值应用柯西不等式可以简便解答某些含有约
4、束条件的多元变量的最值问题解答此类题3的关键是构造两组数或两个向量，使之符合柯西不等式的形式【例 1】 求证： 221()()xy.x21 x2 y21 y2【变式训练 1】 已知 a1， a2， b1， b2为正实数，求证：( a1b1 a2b2) ( a1 a2)2.(a1b1 a2b2)【例 2】 设 x0， y0，且 x y2，求 的最小值x22 x y22 y【变式训练 2】 求函数 y3 的最大值x 1 10 2x【例 3】 已知 x0， y0，且 a b1，4求证：( ax by)2 ax2 by2.【变式训练 3】 设 a0， b0，且 a b1，求证： .2a 1b 13 2
5、225参考答案探究 1提示 不可以当 bd0 时，柯西不等式成立，但 不成立ab cd探究 2 提示 利用柯西不等式求最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件.【例 1】 【证明】 ( )2x21 x2 y21 y2( x x )( y y )2 (，21 2 21 2由柯西不等式，得( x x )(y y )( x1y2 x2y1)2，其中当且仅当 x1y2 x2y1时，21 2 21 2等号成立 2211()xy x1y1 x2y2.( )2( x x )( y y )2( x1y1 x2y2)( x1 y1)2( x2 y2)2.x21 x2 y21 y2
6、21 2 21 2 (.x21 x2 y21 y2其中等号当且仅当 x1y2 x2y1时成立【变式训练 1】证明 ( a1b1 a2b2)(a1b1 a2b2) 22112ab 2(a1b1a1b1 a2b2a2b2)( a1 a2)2.【例 2】 【解】 x y2，根据柯西不等式，有(2 x)(2 y)(x22 x y22 y)( )2( )2Error!Error!2 x 2 y 2(2 xx2 x 2 yy2 y)( x y)24， ()2xyx22 x y22 y 4()xy 2.44 2当且仅当 ，2 xy2 y 2 y x2 x6即 x y1 时，等号成立当 x y1 时， 有最小
7、值 2.x22 x y22 y【变式训练 2】解 由题可知函数的定义域满足Error!即 x1,5，令 (3， )，2 ( ， )x 1 5 x而 y3 x 1 10 2x3 x 1 2 5 x| | | | 22223()()() 2 .11 x 1 5 x 11当且仅当 3 ，5 x 2 x 1即 x 时，取等号4711所以 y 的最大值为 2 .11【例 3】证明 设 m( x， y)， n( ， )，a b a b则| ax by| mn| m|n| 22()()axby ，ax2 by2 a b ax2 by2( ax by)2 ax2 by2.【变式训练 3】证明 令 ， ( ，1)，则(a 12， b 13) 2| | .2a 1b 13而| | ，a 12 b 13 116又| | ，3| | | .222由| | | |，得 .2a 1b 13 2227
