1、13.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题二、课时安排1 课时三、教学重点1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题四、教学难点1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题五、教学过程（一）导入新课已知实数 x， y， z 满足 x2 y z1，求 t x24 y2 z2的最小值【解】 由柯西不等式得(x24 y2 z2)(111)( x2 y z)2. x2 y z1 ，3( x24 y2 z2)1，即 x24 y2 z2 .13当且仅当 x2 y z
2、 ，即 x ， y ， z 时等号成立故 x24 y2 z2的最小值为13 13 16 13.13（二）讲授新课教材整理 1 三维形式的柯西不等式设 a1， a2， a3， b1， b2， b3R，则( a a a )(b b b )21 2 23 21 2 23.当且仅当 或存在一个数 k，使得 ai kbi(i1,2,3)时，等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式教材整理 2 一般形式的柯西不等式设 a1， a2， a3， an， b1， b2， b3， bn是实数，则(a a a )(b b b ) .当且仅当21 2 2n 21 2 2nbi0( i1,2， n)或存在一个数
3、k，使得 ai (i1,2， n)时，等号成立2（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例 1 已知 a， b， c(0，)， 2，求 a2 b3 c 的最小值及取得最小值1a 2b 3c时 a， b， c 的值【精彩点拨】 由于 2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西1a 2b 3c不等式求解【自主解答】 a， b， c(0，)， (a2 b3 c) ( )2( )2( )2(1a 2b 3c) (1a)2 (2b)2 (3c)2 a 2b 3c (1aa 2b2b 3c3c)2 (123) 236.又 2，1a 2b 3c a2 b3 c18，当且仅当 a b c3 时等号成
4、立，综上，当 a b c3 时，a2 b3 c 取得最小值 18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件再练一题1已知 x4 y9 z1，求 x2 y2 z2的最小值【解】 由柯西不等式，知(x4 y9 z)2(1 24 29 2)(x2 y2 z2)98( x2 y2 z2)又 x4 y9 z1， x2 y2 z2 ，(*)198当且仅当 x 时，等号成立，y4 z9 x ， y ， z 时，(*)取等号198 249 998因此， x2 y2 z2的最小值为 .1983题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例 2 已知正数
5、 x， y， z 满足 x y z xyz，且不等式 恒成立，1x y 1y z 1z x求 的取值范围【精彩点拨】 “恒成立”问题需求 的最大值，设法应用柯西不等1x y 1y z 1z x式求最值【自主解答】 x0， y0， z0.且 x y z xyz. 1.1yz 1xz 1xy又 1x y 1y z 1z x12(1xy 1yz 1zx) 12(11xy 11yz 11zx) 12当且仅当 x y z，即 x y z 时等号成立3 的最大值为 .1x y 1y z 1z x 32故 恒成立时，1x y 1y z 1z x应有 .32因此 的取值范围是 .32， )规律总结：应用柯西不
6、等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理再练一题2已知实数 a， b， c， d 满足 a b c d3， a22 b23 c26 d25，试求 a 的取值范围.【解】 由 a b c d3，得 b c d3 a，由 a22 b23 c26 d25，得 2b23 c26 d25 a2，(2b23 c26 d2) ( b c d)2，(12 13 16)即 2b23 c26 d2( b c d)2.4由条件可得，5 a2(3 a)2，解得 1 a2，所以实数 a 的取值范围是1,2题型三、利用柯西不等式证明不等式例 3 已知 a， b， cR ，求证： 9.(
7、ab bc ca)ba cb ac【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式， a1 ， a2 ， a3 ， b1 ， b2ab bc ca ba， b3 ，而 a1b1 a2b2 a3b31，因而得证cb ac【自主解答】 a， b， cR ，由柯西不等式，知 (ab bc ca)(ba cb ac) (ab)2 (bc)2 (ca)2 (ba)2 (cb)2 (ac)2 (abba bccb caac)2 (111) 29， 9.(ab bc ca)(ba cb ac)规律总结：1当 ai， bi是正数时，柯西不等式变形为( a1 a2 an)(b1 b2 bn)( )2.a1b1 a2b2
8、anbn2本题证明的关键在于构造两组数，创造使用 柯西不等式的条件在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组再练一题3已知函数 f(x) m| x2|， mR，且 f(x2)0 的解集为1,1(1)求 m 的值；(2)若 a， b， cR ，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c【解】 (1)因为 f(x2) m| x|， f(x2)0 等价于| x| m.由| x| m 有解，得 m0，且其解集为 x| m x m又 f(x2)0 的解集为1,1，故 m1.(2)证明：由(1)知 1.又 a， b， cR ，由柯西不等式得1a 12b
9、 13ca2 b3 c( a2 b3 c) 9.(1a 12b 13c) (a1a 2b12b 3c13c)2 （四）归纳小结5一般形式的柯西不等式Error!（五）随堂检测1设 a(2,1,2)，| b|6，则 ab 的最小值为( )A18 B6 C18 D.12【解析】 | ab| a|b|，| ab|18.18 ab18，当 a， b 反向时， ab 最小，最小值为18.【答案】 C2若 a a a 1， b b b 4，则 a1b1 a2b2 anbn的取值范围21 2 2n 21 2 2n是( )A(，2) B2,2 C(，2 D.1,1【解析】 ( a a a )(b b b )(
10、 a1b1 a2b2 anbn)2，21 2 2n 21 2 2n( a1b1 a2b2 anbn)24，| a1b1 a2b2 anbn|2，即2 a1b1 a2b2 anbn2，当且仅当 ai bi(i1,2， n)时，右边等号成立；12当且仅当 ai bi(i1,2， ， n)时，左边等 号成立，故选 B.12【答案】 B3设 a， b， m， nR，且 a2 b25， ma nb5，则 的最小值为_m2 n2【解析】 根据柯西不等式( ma nb)2( a2 b2)(m2 n2)，得 255( m2 n2)，m2 n25， 的最小值为 .m2 n2 5【答案】 5六、板书设计3.2 一 般形式的柯西不等式教材整理 1 三维形式的柯西不等式教材整理 2 一般形式的柯西不等式例 1：例 2：例 3：学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思6
