1、1第三讲柯西不等式与排序不 等式一、复习目标掌握柯西不等式的形式以及应用掌握排序不等式以及应用二、课时安排1 课时三、复习重难点掌握柯西不等式的形式以及应用掌握排序不等式以及应用四、教学过程（一）知识梳理（二）题型、方法归纳利用柯西不等式证明简单不等式排序原理在不等式证明中的应用利用柯西不等式、排序不等式求最值（三）典例精讲题型一、利用柯西不等式证明简单不等 式柯西不等式形式优美、结构易记，因此在解题时，根据题目特征灵活运用柯西不等式，可证明一些简单不等式例 1 已知 a， b， c 是实数，且 a b c1，求证： 4 .13a 1 13b 1 13c 1 32【规范解答】 因为 a， b，
2、 c 是实数，且 a b c1，令 m( ， ，13a 1 13b 1)，13c 1n(1,1,1)，则| mn|2( )2，13a 1 13b 1 13c 1|m|2|n|23(13 a1)(13 b1)(13 c1)313( a b c)348.| mn|2| m|2|n|2，( ) )248，13a 1 13b 1 13c 1 4 .13a 1 13b 1 13c 1 3再练一题1设 a， b， x， y 都是正数，且 x y a b，求证： .a2a x b2b y a b2【证明】 a， b， x， y 都大于 0，且 x y a b.由柯西不等式，知(a x)( b y)(a2a
3、x b2b y) 2(aa xa x bb yb y)( a b)2.又 a x b y2( a b)0，所以 .a2a x b2b y a b2题型二、排序原理在不等式证明中的应用应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组例 2 已知 a， b， c 为正实数，求证： a b c .a2 b22c b2 c22a c2 a22b【规范解答】 由于不等式关于 a， b， c 对称，可设 a b c0.于是 a2 b2 c2， .1c 1b 1a由排序不等式，得反序和乱序和，即a2 b2 c2 a2 b2 c2 ，
4、1a 1b 1c 1b 1c 1a及 a2 b2 c2 a2 b2 c2 .1a 1b 1c 1c 1a 1b3以上两个同向不等式相加再除以 2，即得原不等式再练一题2设 a， b， cR ，求证： a5 b5 c5 a3bc b3ac c3ab.【证明】 不妨设 a b c0，则 a4 b4 c4，运用排序不等式有：a5 b5 c5 aa4 bb4 cc4 ac4 ba4 cb4.又 a3 b3 c30，且 ab ac bc0，所以 a4b b4c c4a a3ab b3bc c3ca a3bc b3ac c3ab，即 a5 b5 c5 a3bc b3ac c3ab.题型三、利用柯西不等式、
5、排序不等式求最值有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制，柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具，但一定要注意取等号的条件能否 满足例 3 设 a， b， c 为正实数，且 a2 b3 c13，求 的最大值3a 2b c【规范解答】 由于 a， b， c 为正实数，根据柯西不等式，知(a2 b3 c)(3 113)( )2( )2a 2b( )23c 32 12 (13)2 2(3a 12b 133c)( )2，3a 2b c( )2 ，3a 2b c1323即 ，3a 2b c1333当且仅当 时取等号a3 2b1 3c13又 a2 b3 c13，当 a9，
6、 b ， c 时，32 13 取 得最大值为 .3a 2b c1333再练一题3已知实数 a， b， c， d， e 满足 a2 b2 c2 d2 e216.求 a b c d e 的最大值.4【解】 a b c d e a b c d e2a2 b2 c2 d2 e212 12 12 12 12 4 ，165 5所以 a b c d e 的最大值是 4 .5（四）归纳小结利用柯西不等式证明简单不等式排序原理在不等式证明中的应用利用柯西不等式、排序不等式求最值（五）随堂检测1已知关于 x 的不等式| x a|0， b0， c0，函数 f(x)| x a| x b| c 的最小值为 4.(1)求
7、 a b c 的值；(2)求 a2 b2 c2的最小值14 19【解】 (1)因为 f(x)| x a| x b| c|( x a)( x b)| c| a b| c，当且仅当 a x b 时，等号成立又 a0， b0，所以| a b| a b，所以 f(x)的最小值为 a b c.又已知 f(x)的最小值为 4，所以 a b c4.(2)由(1)知 a b c4，由柯西不等式，得(491)(14a2 19b2 c2)2( a b c)216，即 a2 b2 c2 .(a22 b33 c1) 14 19 875当且仅当 ，即 a ， b ， c 时等号成立，故 a2 b2 c2的最小值是12a
8、213b3 c1 87 187 27 14 19.873已知 x1， y1，且 lg xlg y4，那么 lg xlg y 的最大值是( )A2 B. C. D412 14【解析】 4lg xlg y2 ，lg xlg ylg xlg y4.【答案】 D4已知 a， bR ，且 a b1，则( )2的最大值是( )4a 1 4b 1A2 B.6 6C6 D12【解析】 ( )24a 1 4b 1(1 1 )24a 1 4b 1(1 21 2)(4a14 b1)24( a b)22(412)12，当且仅当 ，4b 1 4a 1即 a b 时等号成立故选 D.12【答案】 D5数列 an的通项公式 an ，则数列 an中的最大项是( )nn2 90A第 9 项 B第 8 项和第 9 项C第 10 项 D第 9 项和第 10 项【解析】 an ，nn2 90 1n 90n 12n90n 1610当且仅当 n ，即 n3 时等号成立90n 10又 nN ，检验可知选 D.【答案】 D五、板书设计利用柯西不等式证明简单不等式6排序原理在不等式证明中的应用利用柯西不等式、排序不等式求最值六、作业布置本课单元检测七、教学反思
