1、12.2 综合法和分析法一、教学目标1了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点2会用综合法、分析法证明简单的不等式二、课时安排1 课时三、教学重点了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点四、教学难点会用综合法、分析法证明简单的不等式五、教学过程（一）导入新课已知 a0， b0,2 c a b，求证： c a.c2 ab【证明】 要证 c a，c2 ab只需证明 c a ，c2 ab即证 b a2 ，c2 ab当 b a0 时，显然成立；当 b a0 时，只需证明 b2 a22 ab4 c24 ab，即证( a b)24 c2，由 2c a b 知上式成立所以原不等式成立（二）讲授新课教
2、材整理 1 综合法一般地，从 出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做 ，又叫或 教材整理 2 分析法证明命题时，我们还常常从要证的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为 或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做 ，这是一种执果索因的思考和证明方法（三）重难点精讲题型一、用综合法证明不等式例 1 已知 a， b， c 是正数，求证：2 abc.b2c2 c2a2 a2b2a b c【精彩点拨】 由 a， b， c 是正数，联想去分母，转化证明b2c2 c2a2 a2b2 ab
3、c(a b c)，利用 x2 y22 xy 可证或将原不等式变形为 bca acb a b c 后，再进行证明abc【自主解答】 法一 a， b， c 是正数， b2c2 c2a22 abc2， b2c2 a2b22 ab2c， c2a2 a2b22 a2bc，2( b2c2 c2a2 a2b2)2( abc2 ab2c a2bc)，即 b2c2 c2a2 a2b2 abc(a b c)又 a b c0， abc.b2c2 c2a2 a2b2a b c法二 a， b， c 是正数， 2 2 c.bca acb bcaacb同理 2 a， 2 b，acb abc abc bca2 2( a b
4、c)(bca acb abc)又 a0, b0， c0， b2c2 a2c2 a2b2 abc(a b c)故 abc.b2c2 c2a2 a2b2a b c规律总结：1综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰 当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键2综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术几何平均不等式等再练一题1已知 a0， b0， c0，且 abc2.求证：(1 a)(1 b)(1 c)8 .2【证明】 a0，b0，c0，1 a2 ，当且
5、仅当 a1 时，取等号，a31 b2 ，当且仅当 b1 时，取等号，b1 c2 ，当且仅当 c1 时，取等号c abc2， a， b， c 不能同时取 1，“”不同时成立(1 a)(1 b)(1 c)8 8 .abc 2即(1 a)(1 b)(1 c)8 .2题型二、综合法与分析法的综合应用例 2 设实数 x， y 满足 y x20，且 0 a1，求证：log a(ax by) log a2.18【精彩点拨】 要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路，转化为要证明一个简单 的结论，然后再利用综合法证明【自主解答】 由于 0 a1，则 tlog ax(x0)为减函数欲证 loga
6、(ax ay) log a2，只需证 ax ay2 a .18 18 y x20,0 a1， x y x x2 .(x12)2 14 14当且仅当 x 时，( x y)max ，12 14 ax y a ， a .14ax y18(当 x 12， y 14时 取 等 号 )又 ax ay2 (当且仅当 x y 取等号), ax y ax ay2 a .18由于，等号不能同时成立，式等号不成立，即 ax ay2 a 成立18故原不等式 loga(ax ay) log a2 成立18规律 总结：1通过等式或不等式运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明体现了分析法与综合
7、法之间互为前提、互相渗透、相互转化的辩证关系2函数与不等式综合交汇，应注意函数性质在解题中的运用4再练一题2已知 a， b， c 都是正数，求证：2 3 .(a b2 ab) a b c3 3abc【证明】 法一 要证 2 3 ，只需证(a b2 ab) a b c3 3abca b2 a b c3 ，ab 3abc即2 c3 ，ab 3abc移项，得 c2 3 .ab 3abc由 a， b， c 都为正数，得 c2 c 3 ，原不等式成立ab ab ab 3abc法二 a， b， c 都是正数， c 3 3 ，ab ab 3cabab 3abc即 c2 3 ，ab 3abc故2 c3 ，ab
8、 3abc a b2 a b c3 ，ab 3abc2 3 .(a b2 ab) (a b c3 3abc)题型三、分析法证明不等式例 3 已知 a b0，求证： .a b28a a b2 ab a b28b【精彩点拨】 本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由 a b0 得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索【自主解答】 要证原不等式成立，只需证 a b2 ，a b24a ab a b24b即证 ( )2 .(a b2a)2 a b (a b2b)2 只需证 ，a b2a a b a b2b即 1 ，a b2a a b2b即 1 .ba ab只需
9、证 1 .ba ab5 a b0， 1 成立ba ab原不等式成立规律总结：1解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开 方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确2当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路再练一题3已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a【证明】 因为 a0，要证原不等式成立，只需证2 a ，a2 1a2 1a 2即证 a2 4 41a2 a2 1a2 2 2，(a1a)2
10、2(a 1a)只需证 a ，2a2 1a2 1a即证 2 a2 2，(a21a2) 1a2只需证 a2 2.1a2由基本不等式知 a2 2 显然成立，1a2所以原不等式成立（四）归纳小结综合法与分析法Error!（五）随堂检测1已知 a0，1 b0，则( )A a ab ab2 B ab2 ab aC ab a ab2 D.ab ab2 a【解析】 1 b0，61 b20 b.又 a0， ab ab2 a.【答案】 D2下列三个不等式： a0 b； b a0； b0 a.其中能使 成立的充分条1a 1b件有( )A BC D.【解析】 a0 b ； b a0 ； b0 a .故选 A.1a 1b 1a 1b 1a 1b【答案】 A3已知 a， b(0，)， ， Q ，则 P， Q 的大小关系是_.a b2 a b【解析】 a b ()， .a ba b2【答案】 P Q六、板书设计2.2 综合法和分析法教材整理 1 综合法教材整理 2 分析法例 1：例 2：例 3：学生板演练习七、作业布置同步练习：2.2 综合法和分析法八、教学反思7
