1、12.2 证明不等式的基本方法学习目标1了解综合法与分析法证明不等式的思考过程与特点2会用综合法 、分析法证明简单的不等式一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1 如何理解分析法寻找的是充分条件？探究 2 综合法与分析法有何异同点？1.综合法证明不等式(1)用综合法证明不等式需要把“从已知出发，借助不等式的性质和有关 定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证”的全过程写出来，其特点可描述为“ 由因导果” 可图示为 .图中 P 表示已知或已有的定义、定理、性质等，PQ1 Q1Q2 QnQQ 为要证的结论(2)综合法证明时常用的不等式： a
2、2 b22 ab(当且仅当 a b 时，取等号)， a b2(a， bR ，当且仅当 a b 时，取等号)， a20，| a|0，( a b)ab20， 2( ab0)ba ab2分析法证明不等式(1)当证明题不知从何入手时，可以用分析法而获得解决它从待证的结论入手，步步寻求结论成立的充分条件，直至这个充分条件是显然成立的(2)用分析法证“若 A则 B”这个命题的模式是：欲证 B 成立，只需证 B1成立，2只需证 B2成立，只需证 A 成立，而 A 已知成立，从而知“若 A 则 B”为真(3)用分析法证明不等式的逻辑关 系是： BB1B2BnA.3分析综合法证明不等式一般来说，对于较复杂的不等
3、式，直接运用综合法往往不易下 手，因而常用分析法寻求解题途径，然后用综合法进行证明还有些不等式的证明，需一边分析一边综合，称之为分析综合法(或两头凑法)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提，相互渗透，相互转化的辩证统一关系分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.【例 1】 已知 a， b， c 均为正数，且 a b c1，求证： 8.(1a 1)(1b 1)(1c 1)【变式训练 1】 已知 a0， b0， c0，求证： .1a 1b 1c 1ab 1bc 1ac【例 2】 已知 ab0，求证：2()8a b，求证：(1) c2ab；(2)c 0， b0，且 a b1.求
4、证： 2.a 12 b 124参考答案探 究 1 【提示】 用分析法证明，其叙述格式是：要证明 A，只需证明 B.即说明只要有 B 成立，就一定有 A 成立因此分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件分析法体现了数学中“正难则反”的原则，也是思维中的逆向思维，逆求(不是逆推)结论成立的充分条件探究 2 【提示 】 综合法与分析法的异同点方法 证明的起始步骤 证法过程前后逻辑关系 证题方向综合法已知条件或已学过的定义、定理、性质等格式： AB1B2BnB由已知条件开始推导其成立的必要条件(结论)由因导果分析法 要证明的结论格式： BB1B2BnA由结论开始探索其成立的充分条件(已知)
5、执 果索因【例 1】用综合法证明如下【证明】 a， b， c 均为正数， a b c1， 1 2 .1a 1 aa b ca ba ca bca同理 12 ，1b acb12 .1c abc由于上面三个不等式两边均为正，分别相乘，得 8(1a 1)(1b 1)(1c 1) 2bca 2acb 2abc当且仅当 a b c 时，取等号13【变式训练 1】证明 a0， b0， c0， 2 .1a 1b 1a1b 2ab5同理 ， .1b 1c 2bc 1c 1a 2ac以上三个不等式相加，得2 .(1a 1b 1c) 2ab 2bc 2ac .1a 1b 1c 1ab 1bc 1ac当且仅当 a b c 时，取等号【例 2】 【证明】 ab0，要证2()8bab0， 1,01, a b， a0， b0，4 c2(a b)2 a2 b22 ab2 ab2 ab4 ab. c2ab.(2)要证 c 0，只需证 a b0， b0， a b1， ab 2 .(a b2 ) 14原不等式成立7
