1、12.3 反证法与放缩法学习目标1.理解反证法在证明不等式中的应用2掌握反证法证明不等式的方法3掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.一、自学释疑根据线上提交 的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究探究 1用反证法证明不等式应注意哪些问题？探究 2运用放缩法证明不等式的关键是什么？1.反证法对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明用反证法证明数学命题，实际上是证明逆否命题成立，来代替 证明原命题成立，用反证法证明步骤可概括为“否定结论，推出矛盾” (1)否定结论：假设命题的结论不成立，即肯定结论的反面成立(2)推出矛盾：从假设及 已知出发，应用正确的推理，最
2、后得出与定理、性质、已知及事实相矛盾的结论，从而说明假设不成立，故原命题成立2用反证法证明不等式应注意的问题(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法3放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊方法，它利用已知的基本不等式(如均值不等式)，或某些函数的有界性、单调性等适当的放缩以达到证明的目的放缩是一种重要手段，放缩时应目标明确、放缩适当，目的是化繁为简，应灵活掌握2常见放缩有以下几种类型：第一，直接放缩；第二，裂项放缩(有时添
3、加项)；第三，利用函数的有界性、单调性放缩；第四，利用基本不等式放缩例如： ； 2( 1n2 1nn 1 1n 1 1n 1n2 1nn 11n 1n 1 1n 2n n 1 n 1)， 1.【例 1】 若 a3 b32，求证： a b2.【变式训练 1】 若假设 a， b， c， d 都是小于 1 的正数，求证：4 a(1 b)，4 b(1 c)，4c(1 d)，4 d(1 a)这四个数不可能都大于 1.【例 2】 设 x， y， z 满足 x y z a(a0)， x2 y2 z2 a2.求证： x， y， z 都不12能是负数或大于 a 的数23【变式训练 2】 证明：若函数 f(x)在
4、区间 a， b上是增函数，那么方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实根3【例 3】 求证：2( 1) (x y z) x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232【变式训练 4】 设 x0， y0， x0，求证： x y z.x2 xy y2 y2 yz z245参考答案探究 1提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与
5、已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的探究 2 提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会 把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式【例 1】 证法一 假设 a b2，则 a2 b，2 a3 b3(2 b)3 b3，即 2812 b6 b2，即( b1) 22，而 a2
6、ab b2( a b)2 b20，但取等号的条件是12 34a b0，显然不可能 a2 ab b20.则 a3 b3( a b)(a2 ab b2)2(a2 ab b2)又 a3 b32， a2 ab b2a2 b22 ab. ab1.( a b)2 a2 b22 ab( a2 ab b2)3 ab ， b(1 c) ， c(1 d) ， d(1 a) .14 14 14 14 () ， () ， ()c ， ()da .12 12 12 126又 (1)ab ()2， (1)bc ()2c， (1)d ()2c，d ， (1)2ab ， (1)2c ， (1)2d ， (1)2a .12 1
7、2 12 12以上四个式子相加，得 22，矛盾原命题结论成立【例 2】 【证明】 (1)假设 x， y， z 中有负数，若 x， y， z 中有一个负数，不妨设 x0， xa. z2a2.这与 x2 y2 z2 a2相矛盾12若 x， y， z 全为负数，则与 x y z a0 矛盾综上所述， x， y， z 都不为负数(2)假设 x， y， z 有大于 a 的数23若 x， y， z 中有一个大于 a，不妨设 x a.23 23由 a2 x2 y2 z2 (y z)2 (a x)2得12 12 12x2 ax0，即 x 0，这与 x a 相矛盾32 32(x 23a) 23若 x， y， z
8、 中有两个或三个大于 a，这与 x y z a 相矛盾23综上所述， x， y， z 都不能大于 a.23由(1)、(2)知，原命题成立【变式训练 2】证明 假设方程 f(x)0 在区间 a， b上至少有两个实根，设 ， 7为其中的两个实根 ，不妨设 .函数 f(x)在区间 a， b上是增函数， f( )f( )这与 f( ) f( )0 矛盾所以方程 f(x)0 在区间 a， b上至多有一个实数根【例 3】 【证明】 对 kN ，1 k n，有 2( )1k 2k k 1 k 1 k1 2( 1)2( )2( )2( 1)12 13 1n 2 3 2 n 1 n n 1又 (x y z) x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232【变式训练 4】证明 x0， y0， z0， 2()4 2()| x | x .同理 x2 xy y2y2 y2 y2 yz z2z .y28二式相加，得 x y z.x2 xy y2 y2 yz z2
