1、1第二讲证明不等式的基本方法一、知识梳理二、题型、技巧归纳题型一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与 运算的关系其主要步骤是：作差恒等变形判断差值的符号结论 其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号例 1 设 a b0，求证：3 a32 b33 a2b2 ab2.再练一题1若 a ， b ， c ，则( )lg 22 lg 33 lg 55A a b c B c b aC c a b D.b a c题型二、综合法、分析法证明不等式分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果 ”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对
2、立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例 2 已知实数 x， y， z 不全为零，求证： (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232再练一题2设 a， b， c 均为大于 1 的正数， 且 ab10.求证：log aclog bc4lg c.2题型三、反证法证明不等式若直接证明 难以入手时， “正难则反” ，可利用反证法加以证明；若要证明不等 式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达 到证明目的例 3 若 a， b， c， x， y， z 均为实数
3、，且a x22 y ， b y22 z ， c z22 x ，求证： a， b， c 中至少有一个大于 0. 2 3 6再练一题3如图，已知在 ABC 中， CAB90， D是 BC 的中点，求证： AD BC.12三、随堂检测1若实数 a， b 满足 ，则 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B22C2 D.422设 a， b0， a b5，则 的最大值为_a 1 b 33已知| x| ，| y| ，| z| ，求证：| x2 y3 z| . 3 6 93参考答案1.【解析】 由 知 a0， b0，所以 2 ，即 ab2 ，1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 2当且仅当Error!即 a ， b2 时 取“” ，所以 ab 的最小值为 2 .42 42 2【答案】 C2.【解析】 令 t ，则 t2 a1 b32 (1)3ab92a 1 b 3(1)3ab9 a1 b313 a b13518，当且仅当 a1 b3 时取等号，此时 a ， b .72 32 tmax 3 .18 2【答案】 3 23.【证明】 | x| ，| y| ，| z| ， 3 6 9| x2 y3 z|12 y(3 z)| x|2 y|3 z| x|2| y|3| z| 2 3 . 3 6 9原不等式成立
