1、1第二讲证明不等式的基本方法一、复习目标掌握不等式证明的基本方法直接法和间接法二、课时安排1课时三、复习重难点不等式证明的基本方法直接法和间接法四、教学过程（一）知识梳理作差法综合法执果索因放缩法间接证明（二）题型、方法归纳比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式（三）典例精讲题型一、比较法证明不等式比较法证明不等式的依据是 ：不等式的意义及实数大小与运算的关系其主要步骤是：作差恒等变形判断差值的符号结论其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号2例 1设 a b0，求证：3 a32 b33 a2b2 ab2.【规范解答】 3 a32 b3(3 a2b2 ab2)
2、3 a2(a b)2 b2(b a)( a b)(3a22 b2) a b0， a b0,3 a22 b22 a22 b20，从而(3 a22 b2)(a b)0，故 3a32 b33 a2b2 ab2成立再练一题1若 a ， b ， c ，则( )lg 22 lg 33 lg 55A a b c B c b aC c a b D.b a c【解析】 a与 b比较： a ， b .98， b a，3lg 26 lg 86 2lg 36 lg 96b与 c比较： b ， c .3 55 3，lg 33 lg 3515 lg 55 lg 5315 b c，a与 c比较： a ， c .lg 251
3、0 lg 3210 lg 25103225， a c， b a c，故选 C.【答案】 C题型二、综合法、分析法证明不 等式分析法是“执果索因” ，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用例 2 已知实数 x， y， z不全为零，求证： (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232【规范解答】 因为 x2 xy y2 (x y2)2 34y2 x ，(x y2)2 |
4、x y2| y2同理可证： y ， z .y2 yz z2z2 x2 xz z2 x2由于 x， y， z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，3所以三式累加得： x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 (x y z)，(xy2) (y z2) (z x2) 32所以有 (x y z)x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x232再练一题2设 a， b， c均为大于 1的正数， 且 ab10.求证：log aclog bc4lg c.【证明】 由于 a1， b1，故要证明 logaclog bc4lg c，只要证明 4lg c.lg clg a lg clg b又
5、 c1，故 lg c0，所以只要证 4，即 4.1lg a 1lg b lg a lg blg alg b因 ab10，故 lg alg b1，只要证明 4.(*)1lg alg b由 a1， b1，故 lg a0，lg b0 ，所以 0lg alg b ，(lg a lg b2 )2 (12)2 14即(*)式成立所以，原不等式 logaclog bc4lg c得 证.题型三、反证法证明不等式若直接证明难以入手时， “正难则反” ，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的例 3若 a， b， c， x， y， z均为实数，且a x22 y ，
6、 b y22 z ， c z22 x ，求证： a， b， c中至少有一个大于 0.2 3 6【规范解答】 设 a， b， c都不大于 0，则 a0， b0， c0， a b c0，由题设知， a b c (x2 2y2) (y2 2z 3) (z2 2x 6)( x22 x)( y22 y)( z22 z)( x1) 2( y1) 2( z1) 23， a b c0，这与 a b c0 矛盾，4故 a， b， c中至少有一个大于 0.再练一题3如图，已知在 ABC中， CAB90， D是 BC的中点，求证： AD BC.12【证明】 假设 AD BC.12(1)若 AD BC，由平面几何定理
7、“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这12条边所对的角为直角” ，知 A90，与题设矛盾，所以 AD BC.12(2)若 AD BC，因为 BD DC BC，12 12所以在 ABD中， AD BD，从而 B BAD.同理 C CAD.所以 B C BAD CAD，即 B C A.因为 B C180 A，所以 180 A A，即 A90，与已知矛盾，故 AD BC不成立12由(1)(2)知 AD BC成立.12（四）归纳小结比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式（五）随堂检测1若实数 a， b满足 ，则 ab的最小值为( )1a 2b abA. B22C2 D.42【
8、解析】 由 知 a0， b0，所以 2 ，即 ab2 ，1a 2b ab ab 1a 2b 2ab 25当且仅当Error!即 a ， b2 时取“” ，所以 ab的最小值为 2 .42 42 2【答案】 C2设 a， b0， a b5，则 的最大值为_a 1 b 3【解析】 令 t ，则 t2 a1 b32 (1)3ab92a 1 b 3(1)39 a1 b313 a b13518，当且仅当 a1 b3 时取等号，此时 a ， b .72 32 tmax 3 .18 2【答案】 3 23.已知| x| ，| y| ， |z| ，求证：| x2 y3 z| .3 6 9【证明】 | x| ，| y| ，| z| ，3 6 9| x2 y3 z|12 y(3 z)| x|2 y|3 z| x|2| y|3| z| 2 3 .3 6 9原不等式成立五、板书设计比较法证明不等式综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式六、作业布置本课单元检测七、教学反思6
