1、14.1 数学归纳法学习目标1了解数学归纳法的原理2了解数学归纳法的使用范围3会用数学归纳法证明一些简单问题一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究 探究 1数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1?探究 2在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法它是人们发现规律，产生猜想的一种方法归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法用不完全归纳法得出的结论不一定是正确
2、的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能2做到一一验证的对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法2数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证 n n0时，命题成立，称为奠基第二步，是假设递推，
3、这两步都非常重要，缺一不可第一步，证明了 n n0时，命题成立， n n0成为后面递推的出发点第二步的归纳假设 n k(kN ， k n0)就有了依据，在 n n0成立时， n01 成立， n02 成立这样就可以无限推理下去，而证 n k1 就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃(2)应用数学归纳法的一般步骤验证 n n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；假设当 n k(k n0， kN 时)，命题成立，利用假设证明 n k1 时命题也成立由和知，对一切 n n0的正整数命题成立3如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正
4、整数有关的数学命题(2)验证 n n0是基础，找准 n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从 1 开始(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从 n k 到 n k1 的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法(4)正确寻求递推关系，在验证 n n0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出 f(k)到 f(k1)的图形的变化情况；对于整除性问题，往往添加项凑出假设【例 1】 看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正用数学归纳法证明：1248(1) n1 2n1 (1) n1 . 2n3 13【证明】 (1)当 n1
5、 时，左边1，右边 1，等式成立23 133(2)假设 n k 时，等式成立，即 1248(1) k1 2k1 (1) k1 .2k3 13则当 n k1 时，有1248(1) k1 2k1 (1) k2k (1) k1 (1) k .1 2 k 11 2 13 2 k 13 13 2k 13 2k 13 13这就是说，当 n k1 时，等式也成立由(1)与(2)知，对任意 nN 等式成立【变式训练 1】 用数学归纳法证明： nN 时， .113 135 1 2n 1 2n 1 n2n 1【例 2】 设 xN ， nN ，求证： xn2 ( x1) 2n1 能被 x2 x1 整除4【变式训练
6、2】 求证：二项式 x2n y2n(nN )能被 x y 整除【例 3】 平面上有 n 条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n 条直线把平面分割成 f(n) 块区域n2 n 22【变式训练 3】 已知 n 个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明这 n 个圆把平面分成 n2 n2 部分5参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法它是人们发现规律，产生猜想的一种方法归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的
7、，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法2数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证 n n0时，命题成立，称为奠基第二步，是假设递推，这两
8、步都非常重要，缺一不可第一步，证明了 n n0时，命题成立， n n0成为后面递推的出发点第二步的归纳假设 n k(kN ， k n0)就有了依据，在 n n0成立时， n01 成立， n02 成立这样就可以无限推理下去，而证 n k1 就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃(2)应用数学归纳法的一般步骤验证 n n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；假设当 n k(k n0， kN 时)，命题成立，利用假设证明 n k1 时命题也成立由和知，对一切 n n0的正整数命题成立3如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数
9、有关的数学命题(2)验证 n n0是基础，找准 n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从 1 开始(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从 n k 到 n k1 的推理过程，必须用上假6设，否则不是数学归纳法(4)正确寻求递推关系，在验证 n n0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；在解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出 f(k)到 f(k1)的图形的变化情况；对于整除性问题，往往添加项凑出假设探究 1提示 不一定探究 2提示 不可以这两个步骤缺一不可，只完成步骤而缺少步骤，就作出判断可能得出不正确的结论因为单靠步骤，无法递推下去，即 n 取 n0以后的数时命题是否正
10、确，我们无法判定同样，只有步骤而缺少步骤时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤也就没有意义了.【例 1】 【解】 从上面的证明过程可以看出，是用数学归纳法证明等式成立在第二步中，证 n k1 时没有用上假设，而是直接利用等比数列的求和公式，这是错误的第二步正确证法应为：当 n k1 时，1248(1) k1 2k1 (1) k2k(1) k1 (1) k2k2k3 13(1) k (1) k2k2k3 13 (1) k2k(13 1) 13(1) k .2k 13 13即当 n k1 时，等式也成立【变式训练 1】证明 (1)当 n1 时，左边 ，右边 ，1
11、13 13 121 1 13左边右边，等式成立(2)假设 n k 时，等式成立，即 .113 135 1 2k 1 2k 1 k2k 1则当 n k1 时， 113 135 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 k2k 1 1 2k 1 2k 3 2k2 3k 1 2k 1 2k 3 2k 1 k 1 2k 1 2k 3 .k 12k 3 k 12 k 1 17即当 n k1 时，等式也成立由(1)，(2)可知对一切 nN 等式成立【例 2】 【证明】 (1)当 n1 时， x3( x1) 3 x( x1) x2 x(x1)( x1) 2(2 x1)( x2 x1)，结论成立(2)假
12、设 n k 时，结论成立，即xk2 ( x1) 2k1 能被 x2 x1 整除，那么当 n k1 时，x(k1)2 ( x1) 2(k1)1 xxk2 ( x1) 2(x1) 2k1 xxk2 ( x1) 2k1 ( x1) 2(x1) 2k1 x(x1) 2k1 xxk2 ( x1) 2k1 ( x2 x1)( x1) 2k1 .由假设知， xk2 ( x1) 2k1 及 x2 x1 均能被 x2 x1 整除，故 x(k1)2 ( x1) 2(k1)1能被 x2 x1 整除，即 n k1 时，结论也成立由(1)(2)知，原结论成立【变式训练 2】证明 (1)当 n1 时， x2 y2( x
13、y)(x y)，命题成立(2)假设 n k 时， x2k y2k能被 x y 整除，那么 n k1 时， x2(k1) y2(k1) x2x2k y2y2k x2(x2k y2k) x2y2k y2y2k x2(x2k y2k) y2k(x2 y2) x2k y2k与 x2 y2都能被 x y 整除， x2(x2k y2k) y2k(x2 y2)能被 x y 整除即 n k1 时，命题也成立由(1)(2)知，对任意的正整数 n 命题成立【例 3】 【证明】 (1)当 n1 时，一条直线把平面分割成 2 块而 f(1) 2，命题成立12 1 22(2)假设 n k 时， k 条直线把平面分成 f
14、(k) 块区域，那么当 n k1 时，设 k1k2 k 22条直线为 l1， l2， l3lk， lk1 ，不妨取出 l1，余下的 k 条直线 l2， l3， lk， lk1 将平面分割成f(k) 块区域， 直线 l1被这 k 条直线分割成 k1 条射线或线段，它们又分别将各自所k2 k 22在区域一分为二，故增加了 k1 块区域，所以 f(k1) f(k) k1 k1 ，这就是说，当 n k1 时，命k2 k 22 k2 3k 42 k 1 2 k 1 22题也成立8由(1)(2)知，命题对一切 nN 成立【变式训练 3】证明 (1)当 n1 时，1 个圆把平面分成两部分，而 21 212.所以当 n1 时，命题成立(2)假设 n k 时命题成立，即 k 个圆把平面分成 k2 k2 部分当 n k1 时，平面上增加第 k1 个圆，它与原来的 k 个圆中的每个圆都相交于两个不同点，共 2k 个交点，而这 2k 个交点把第 k1 个圆分成 2k 段弧，每段弧把原来的区域隔成了两块区域，区域的块数增加了 2k 块 k1 个圆把平面划分成的块数为(k2 k2)2 k k2 k2( k1) 2( k1)2，当 n k1 时命题也成立根据(1)(2)知，命题对 nN 都成立
